Cum să găsiți punctele minime și maxime ale unei funcții: caracteristici, metode și exemple

Funcția și studiul caracteristicilor sale iaunul dintre capitolele cheie ale matematicii moderne. Componenta principală a oricărei funcții sunt graficele care descriu nu numai proprietățile acesteia, ci și parametrii derivatei acestei funcții. Să aruncăm o privire la acest subiect complicat. Deci, care este cel mai bun mod de a găsi punctele maxime și minime ale unei funcții?

Funcție: definiție

Orice variabilă care depinde într-un fel de valorile unei alte mărimi poate fi numită funcție. De exemplu, funcția f(x²) este pătratică și determină valorile pentru întreaga mulțime x. Să presupunem că x = 9, atunci valoarea funcției noastre va fi egală cu 9²= 81.

Funcțiile vin în multe forme diferite:logic, vectorial, logaritmic, trigonometric, numeric și altele. În studiul lor au fost implicate minți remarcabile precum Lacroix, Lagrange, Leibniz și Bernoulli. Scrierile lor servesc drept bastion în modalitățile moderne de studiere a funcțiilor. Înainte de a găsi punctele minime, este foarte important să înțelegem sensul însuși al funcției și al derivatei sale.

Derivatul și rolul său

Toate funcțiile depind de acesteavariabile, ceea ce înseamnă că își pot schimba valoarea în orice moment. Pe grafic, aceasta va fi reprezentată ca o curbă care fie coboară, fie se ridică de-a lungul axei y (acesta este întregul set de numere „y” de-a lungul verticalei graficului). Și astfel definirea unui punct de maxim și minim de funcție este legată de aceste „oscilații”. Să explicăm care este această relație.

Derivata oricărei funcții este reprezentată graficpentru a studia principalele sale caracteristici și a calcula cât de repede se schimbă funcția (adică își schimbă valoarea în funcție de variabila „x”). În momentul în care funcția crește, graficul derivatei sale va crește și el, dar în orice secundă funcția poate începe să scadă, iar apoi graficul derivatei va scădea. Acele puncte în care derivata trece de la minus la plus se numesc puncte minime. Pentru a ști cum să găsiți puncte minime, ar trebui să înțelegeți mai bine conceptul de derivată.

Cum se calculează derivata?

Definirea și calculul derivatei unei funcțiipresupune mai multe concepte din calculul diferenţial. În general, însăși definiția derivatei poate fi exprimată astfel: aceasta este valoarea care arată rata de schimbare a funcției.

Modul matematic de a-l determina pentru mulțielevii pare complicat, dar de fapt totul este mult mai simplu. Este necesar doar să urmați planul standard pentru găsirea derivatei oricărei funcții. În cele ce urmează se descrie cum puteți găsi punctul minim al unei funcții fără a aplica regulile de diferențiere și fără a memora tabelul de derivate.

1. Puteți calcula derivata unei funcții folosindgrafică. Pentru a face acest lucru, trebuie să descrieți funcția în sine, apoi luați un punct pe ea (punctul A din Fig.) Desenați o linie vertical în jos până la axa absciselor (punctul x₀), iar în punctul A trageți o tangentă la graficfuncții. Axa absciselor și tangenta formează un unghi a. Pentru a calcula valoarea cât de repede crește funcția, trebuie să calculați tangentei acestui unghi a.
2. Rezultă că tangentei unghiului dintre tangenta șidirecția axei x este derivata funcției într-o zonă mică cu punctul A. Această metodă este considerată o modalitate geometrică de determinare a derivatei.

Metode de examinare a unei funcții

În programa școlară de matematică este posibilGăsirea punctului minim al unei funcții în două moduri. Am analizat deja prima metodă folosind graficul, dar cum se determină valoarea numerică a derivatei? Pentru a face acest lucru, va trebui să învățați mai multe formule care descriu proprietățile derivatei și vă ajută să convertiți variabile precum „x” în numere. Următoarea metodă este universală, deci poate fi aplicată la aproape toate tipurile de funcții (atât geometrice, cât și logaritmice).

1. Este necesar să echivalăm funcția cu funcția derivată și apoi să simplificați expresia folosind regulile de diferențiere.
2. În unele cazuri, când i se oferă o funcție, înîn care variabila „x” se află în divizor, este necesar să se determine intervalul de valori acceptabile, excluzând punctul „0” din acesta (din simplul motiv că în matematică nu poți împărți niciodată la zero).
3. După aceea, ar trebui să convertiți forma originală a funcției într-o ecuație simplă, echivalând întreaga expresie la zero. De exemplu, dacă funcția arăta astfel: f(x) = 2x³+ 38x, apoi, conform regulilor de diferențiere, derivata sa este egală cu f "(x) = 3x²+1. Apoi transformăm această expresie într-o ecuație de următoarea formă: 3x²+1 = 0.
4. După rezolvarea ecuației și găsirea punctelor „x”,ar trebui să le descrieți pe axa x și să determinați dacă derivata din aceste zone dintre punctele marcate este pozitivă sau negativă. După desemnare, va deveni clar în ce moment funcția începe să scadă, adică își schimbă semnul de la minus la opus. În acest fel puteți găsi atât punctele minime, cât și cele maxime.

Reguli de diferențiere

Cea mai de bază componentă în învăţarea funcţiei şiderivatul său este cunoaşterea regulilor de diferenţiere. Numai cu ajutorul lor este posibilă transformarea expresiilor greoaie și a funcțiilor complexe mari. Să facem cunoștință cu ele, există o mulțime, dar toate sunt foarte simple datorită proprietăților regulate atât ale funcțiilor de putere, cât și ale funcțiilor logaritmice.

1. Derivata oricărei constante este zero (f(x) = 0). Adică derivata f(x) = x⁵+ x - 160 va arăta astfel: f "(x) \u003d 5x⁴+1.
2. Derivata sumei a doi termeni: (f+w)" = f"w + fw".
3. Derivată a funcției logaritmice: (log_șid)" = d/ln a*d. Această formulă se aplică tuturor tipurilor de logaritmi.
4. Derivată de putere: (xⁿ)"= n*x^n-1. De exemplu, (9x²)" = 9*2x = 18x.
5. Derivată a funcției sinusoidale: (sin a)" = cos a. Dacă sinul unghiului a este 0,5, atunci derivata sa este √3/2.

puncte extremum

Am discutat deja cum să găsim punctele minime,există totuși și conceptul de puncte maxime ale unei funcții. Dacă minimul denotă acele puncte în care funcția trece de la minus la plus, atunci punctele maxime sunt acele puncte de pe axa x la care derivata funcției se schimbă de la plus la opus - minus.

Puteți găsi punctele maxime folosind metoda descrisă mai sus, doar că trebuie luat în considerare faptul că acestea denotă acele zone în care funcția începe să scadă, adică derivata va fi mai mică decât zero.

În matematică, se obișnuiește să se generalizeze ambele concepte,înlocuindu-le cu sintagma „puncte extreme”. Când sarcina solicită determinarea acestor puncte, aceasta înseamnă că este necesar să se calculeze derivata acestei funcții și să se găsească punctele minime și maxime.