Având în vedere cea mai simplă funcție de trigonometrie y = Sin (x),este diferențiat în fiecare dintre punctele sale de întregul domeniu al definiției. Este necesar să se demonstreze că derivata sinusului oricărui argument este egală cu cosinusul aceluiași unghi, adică y '= Cos (x).
Dovada se bazează pe definiția derivatei funcției
Definim x (arbitrar) în unele mici vecinătăți Δx ale unui punct specific x0... Să arătăm valoarea funcției la aceasta și la punctul x pentru a găsi creșterea funcției date. Dacă Δx este creșterea argumentului, atunci noul argument este x0+ Δx = x, valoarea acestei funcții pentru o valoare dată a argumentului y (x) este egală cu Sin (x0+ Δx), valoarea funcției într-un anumit punct y (x0) este, de asemenea, cunoscut.
Acum avem Δy = Sin (x0+ Δх) -Sin (x0) Este creșterea rezultată a funcției.
Conform formulei sinusoidale a sumei a două unghiuri inegale, vom transforma diferența Δу.
Δу = Sin (x0) Cos (Δx) + Cos (x0) Sin (Δx) minus Sin (x0) = (Cos (Δx) -1) Sin (x0) + Cos (x0) Păcat (Δх).
Permutat termenii, a grupat primul cu al treilea Sin (x0), puneți factorul comun - sinus - în afara parantezelor.A primit în expresie diferența Cos (Δx) -1. Rămâne să schimbați semnul din fața parantezei și din paranteze. Știind la ce este egal 1-Cos (Δх), vom face o substituție și vom obține o expresie simplificată Δу, pe care o împărțim apoi la byх.
Δу / Δх va avea forma: Cos (x0) Sin (Δх) / Δх-2 Sin2(0,5 Δx) Sin (x0) / Δх. Acesta este raportul dintre creșterea funcției și creșterea argumentului permis.
Rămâne să găsim limita raportului lim obținut de noi deoarece Δx tinde la zero.
Se știe că limita Sin (Δx) / Δx este 1, în această condiție. Iar expresia 2 Sin2(0,5 Δx) / Δx în coeficientul rezultat să însumămtransformări într-un produs care conține prima limită remarcabilă ca factor: împărțim numărătorul și zerourile fracției la 2, înlocuim pătratul sinusului cu produsul. Ca aceasta:
(Sin (0,5 Δx) / (0,5 Δx)) Sin (Δx / 2).
Limita acestei expresii cu Δx tendință la zero va fi egală cu numărul zero (1 înmulțit cu 0). Se pare că limita raportului Δy / Δх este egală cu Cos (x0) 1-0, acesta este Cos (x0), o expresie care nu depinde de Δx tendind la 0. Prin urmare, urmează concluzia: derivata sinusului oricărui unghi x este egală cu cosinusul x, o scriem astfel: y '= Cos (x).
Formula rezultată este introdusă în binecunoscutul tabel de derivate, unde sunt colectate toate funcțiile elementare
La rezolvarea problemelor unde derivatasine, puteți utiliza regulile de diferențiere și formulele gata făcute din tabel. De exemplu: găsiți derivata celei mai simple funcții y = 3 · Sin (x) -15. Vom folosi regulile elementare de diferențiere, eliminând un factor numeric în afara semnului derivatei și calculând derivata unui număr constant (este egal cu zero). Aplicăm valoarea tabelară a derivatei sinusului unghiului x, egală cu Cos (x). Primim răspunsul: y "= 3 · Cos (x) -O. Această derivată, la rândul său, este și o funcție elementară y = 3 · Cos (x).
Derivată sinusoidală pătrată de orice argument
La evaluarea acestei expresii (Sin2(x)) 'este necesar să ne amintim cum se diferențiază o funcție complexă. Deci y = Sin2(x) - este o funcție de putere, deoarece sinusul este pătrat. Argumentul său este, de asemenea, o funcție trigonometrică, argument complex.Rezultatul în acest caz este egal cu produsul, al cărui prim factor este derivata pătratului argumentului complex dat, iar al doilea este derivatul sinusului. Așa arată regula pentru diferențierea funcției de funcție: (u (v (x))) "este egal cu (u (v (x)))" · (v (x)) ". Expresia v (x) este un argument complex (funcție internă Dacă este dată funcția "jocul este egal cu sinusul pătrat x", atunci derivata acestei funcții complexe va fi y "= 2 · Sin (x) · Cos (x). În produs, primul factor dublat este derivatul unei funcții de putere cunoscute, iar Cos (x) este derivata sinusului, argumentul unei funcții pătratice complexe. Rezultatul final poate fi convertit folosind formula trigonometrică cu unghi dublu sinusoidal. Răspuns: Derivatul este egal cu Sin (2 x). Această formulă este ușor de reținut, este adesea utilizată ca formulă tabelară.
