Nepretržitá funkcia

Nepretržitá funkcia je funkciabez „skokov“, to znamená, pre ktorý je splnená podmienka: po malých zmenách argumentu nasleduje malé zmeny zodpovedajúcich hodnôt funkcie. Graf takejto funkcie je hladká alebo súvislá krivka.

Kontinuita v bode obmedzenom pre niektorýchmnožiny, možno určiť pomocou konceptu limitu, a to: funkcia musí mať v tomto bode limit, ktorý sa rovná jeho hodnote v limitnom bode.

Ak sú tieto podmienky v určitom okamihu porušené,Hovorí sa, že funkcia v tomto bode je prerušená, to znamená, že je narušená jej kontinuita. V jazyku limitov možno bod diskontinuity opísať ako nesúlad hodnoty funkcie v diskontinuálnom bode s limitom funkcie (ak existuje).

Bod zlomu môže byť preto odstrániteľnýje potrebné mať funkčný limit, ale nezhoduje sa s jeho hodnotou v danom bode. V tomto prípade to môže byť „opravené“ v tomto bode, tj ďalej definované na kontinuitu.
Ak hranica funkcie v danom bode neexistuje, vytvorí sa úplne iný obrázok. Existujú dva možné body prerušenia:

• prvého druhu - sú konečné aj jedno z jednostranných limitov a hodnota jedného alebo obidvoch sa nezhoduje s hodnotou funkcie v danom bode;
• druhý druh, ak jeden alebo oba jednostranné limity neexistujú alebo ich hodnoty sú nekonečné.

Vlastnosti nepretržitých funkcií

• Funkcia získaná ako výsledok aritmetických operácií, ako aj superpozícia spojitých funkcií v ich definičnej oblasti, je tiež spojitá.
• Ak je daná nepretržitá funkcia, ktorá je v určitom okamihu pozitívna, vždy je možné nájsť dostatočne malú štvrť, v ktorej si zachováva svoje znamenie.
• Podobne, ak jeho hodnoty v dvoch bodoch A a Bsú rovnaké, a, b, a a je odlišné od b, potom pre stredné body zoberie všetky hodnoty z intervalu (a; b). Z toho možno vyvodiť zaujímavý záver: ak necháte natiahnutú gumu zmrštiť, aby sa neskĺzla (zostane rovná), potom jeden z jej bodov zostane nehybný. Geometricky to však znamená, že medzi bodmi medzi A a B prechádza čiara, ktorá pretína graf funkcie.

Zaznamenávame niektoré z nepretržitých (v oblasti ich definície) základných funkcií:

• konštantný;
• racionálne;
• goniometrické.

Medzi dvoma základnými pojmami v roku 2006matematika - kontinuita a diferencovateľnosť - existuje nerozlučiteľná súvislosť. Stačí pripomenúť, že pre odlišnosť funkcie je potrebné, aby išlo o spojitú funkciu.

Ak je funkcia v určitom okamihu diferencovateľná, potom je nepretržitá. Nie je však potrebné, aby bol jeho derivát súvislý.

Funkcia má na nejakom súboreplynulý derivát, patrí do samostatnej triedy hladkých funkcií. Inými slovami, ide o nepretržite diferencovateľnú funkciu. Ak derivát má obmedzený počet bodov diskontinuity (iba prvého druhu), podobná funkcia sa nazýva po častiach hladká.

Ďalší dôležitý koncept matematickej analýzyje jednotná kontinuita funkcie, to znamená jej schopnosť byť rovnako súvislá v ktoromkoľvek bode svojej definičnej oblasti. Ide teda o vlastnosť, ktorá sa posudzuje na základe viacerých bodov a nie na konkrétnom mieste.

Ak opravíte bod, potom to tak nie jeinak, ako definícia kontinuity, to znamená, z existencie jednotnej kontinuity, vyplýva, že máme nepretržitú funkciu. Všeobecne možno povedať, že konverzácia nie je pravda. Podľa Cantorovej vety sa však jedná o to, že ak je funkcia súvislá na kompaktnom súbore, to znamená v uzavretom intervale, potom je na nej rovnomerne súvislá.