Kada proučavate trouglove, nehotice se postavlja pitanjeo izračunavanju odnosa između njihovih stranica i uglova. U geometriji, kosinusna i sinusna teorema daje najpotpuniji odgovor za rešavanje ovog problema. U obilju raznovrsnih matematičkih izraza i formula, zakona, teorema i pravila, nalaze se oni koji se odlikuju izvanrednom harmonijom, sažetošću i lakoćom prikaza značenja sadržanog u njima. Teorema sinusa je odličan primer ove matematičke formulacije. Ako u verbalnom tumačenju postoji i određena prepreka u razumevanju ovog matematičkog pravila, onda kada se pogleda matematička formula, sve odmah dolazi na svoje mesto.
Prve informacije o ovoj teoremi pronađene su u vidu njenog dokaza u okviru matematičkog rada Nasir al-Din At-Tusija, datovanog u trinaesti vek.
Približavamo se razmatranju odnosastrane i uglovi u bilo kom trouglu, vredi napomenuti da teorema sinusa omogućava rešavanje mnogih matematičkih problema, dok ovaj zakon geometrije nalazi primenu u različitim vrstama ljudske prakse.
Sama teorema sinusa kaže da za bilo kojetrougao karakteriše proporcionalnost stranica sa sinusima suprotnih uglova. Postoji i drugi deo ove teoreme, prema kome je odnos bilo koje stranice trougla i sinusa suprotnog ugla jednak prečniku kruga opisanog oko dotičnog trougla.
U obliku formule, ovaj izraz izgleda
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R
Ima teoremu o sinusnom dokazu, koja se u raznim verzijama udžbenika nudi u bogatom izboru verzija.
Kao primer, razmotrimo jedan od dokaza koji objašnjavaju prvi deo teoreme. Da bismo to uradili, postavili smo sebi cilj da dokažemo ispravnost izraza али sinC = ц sinA.
U proizvoljnom trouglu ABC konstruisati visinuBH. U jednoj od opcija konstrukcije, H će ležati na segmentu AC, a u drugoj van njega, u zavisnosti od veličine uglova u vrhovima trouglova. U prvom slučaju, visina se može izraziti uglovima i stranicama trougla, kao BH = a sinC i BH = c sinA, što je traženi dokaz.
U slučaju kada je tačka H van segmenta AC, možemo dobiti sledeća rešenja:
VN = a sinC i VN = c sin (180-A) = c sinA;
ili VN = a sin (180-C) = a sinC i VN = c sinA.
Kao što vidite, bez obzira na mogućnosti izgradnje, dolazimo do željenog rezultata.
Dokaz drugog dela teoreme zahtevada opišemo krug oko trougla. Kroz jednu od visina trougla, na primer B, izgraditi prečnik kruga. Rezultujuću tačku na kružnici D povezujemo sa jednom od visine trougla, neka je tačka A trougla.
Ako uzmemo u obzir dobijene trouglove ABD iABC, onda možete videti jednakost uglova C i D (nalaze se na istom luku). A s obzirom da je ugao A jednak devedeset stepeni, onda je sin D = c / 2R, ili sin C = c / 2R, što je bilo potrebno da se dokaže.
Teorema sinusa je polazna tačka zarešavanje širokog spektra različitih zadataka. Njegova posebna privlačnost leži u praktičnoj primeni, kao posledica teoreme, dobijamo priliku da povežemo vrednosti stranica trougla, suprotnih uglova i poluprečnika (prečnika) kruga opisanog oko trougla. Jednostavnost i dostupnost formule koja opisuje ovaj matematički izraz omogućila je široku upotrebu ove teoreme za rešavanje zadataka uz pomoć različitih mehaničkih računskih uređaja (slijd pravila, tabele, itd.), ali čak i dolazak moćnih računarskih uređaja u usluga osobe nije umanjila relevantnost ove teoreme.
Ova teorema nije samo uključena u obavezni predmet geometrije u srednjoj školi, već se dalje primenjuje u nekim granama prakse.
