ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด y = Sin (x),มันแตกต่างกันในแต่ละจุดของโดเมนจากนิยามทั้งหมด มีความจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าอนุพันธ์ของไซน์ของการโต้แย้งใด ๆ เท่ากับโคไซน์ของมุมเดียวกันนั่นคือ ’= Cos (x)
การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของฟังก์ชั่นอนุพันธ์
เรากำหนด x (โดยพลการ) ในละแวกเล็ก ๆ Δxของจุดเฉพาะ x0. เราแสดงค่าของฟังก์ชันในนั้นและที่จุด x เพื่อค้นหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่กำหนด ถ้าΔxเป็นการเพิ่มขึ้นของการโต้แย้งดังนั้นอาร์กิวเมนต์ใหม่คือ x0+ Δx = x, ค่าของฟังก์ชันนี้สำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์ y (x) คือ Sin (x0+ Δx), ค่าของฟังก์ชันที่จุดเฉพาะ y (x0) ยังเป็นที่รู้จัก
ตอนนี้เรามีΔy = Sin (x0+ Δx) -Sin (x0) คือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชั่นที่ได้รับ
การใช้สูตรไซน์ผลรวมของมุมที่ไม่เท่ากันทั้งสองจะเปลี่ยนความแตกต่างได้
Δy = บาป (x0) คอส (Δx) + คอส (x0) Sin (Δx) ลบ Sin (x0) = (Cos (Δx) -1) บาป (x0) + คอส (x0) บาป (Δх).
อนุญาตเงื่อนไขจัดกลุ่มแรกด้วย Sin ที่สาม (x0) ใส่ปัจจัยร่วม - ไซน์ - นอกวงเล็บได้รับในนิพจน์ความแตกต่าง Cos (Δx) -1 ยังคงเปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่หน้าวงเล็บและในวงเล็บ เมื่อรู้ว่า 1-Cos (Δх) เท่ากับอะไรเราจะทำการแทนที่และได้นิพจน์ที่ง่ายขึ้นซึ่งเราหารด้วยΔх
Δу / Δхจะมีรูปแบบ: Cos (x0) บาป (Δх) / Δх-2 บาป2(0.5 Δx) บาป (x0) / Δх. นี่คืออัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่ยอมรับ
มันยังคงหาขีด จำกัด ของอัตราส่วน จำกัด ที่เราได้รับที่Δxพุ่งไปที่ศูนย์
เป็นที่ทราบกันดีว่าลิมิต Sin (Δx) / Δxเท่ากับ 1 ภายใต้เงื่อนไขนี้ และนิพจน์ 2 Sin2(0.5 Δx) / Δxในผลหารผลลัพธ์ให้เรารวมการแปลงเป็นผลคูณที่มีขีด จำกัด แรกที่โดดเด่นเป็นตัวคูณ: หารตัวเศษและเลขศูนย์ของเศษส่วนด้วย 2 และแทนที่กำลังสองของไซน์ด้วยผลคูณ แบบนี้:
(บาป (0.5 Δx) / (0.5 Δx)) บาป (Δx / 2)
ขีด จำกัด ของนิพจน์นี้ที่มีΔxพุ่งไปที่ศูนย์จะเท่ากับเลขศูนย์ (1 คูณด้วย 0) ปรากฎว่าขีด จำกัด ของอัตราส่วนΔy / Δхเท่ากับ Cos (x0) 1-0 นี่คือคอส (x0) ซึ่งเป็นนิพจน์ที่ไม่ขึ้นอยู่กับΔxพุ่งไปที่ 0 ดังนั้นข้อสรุปจะเป็นดังนี้อนุพันธ์ของไซน์ของมุมใด ๆ x เท่ากับโคไซน์ x เราเขียนได้ดังนี้: y '= Cos (x)
สูตรผลลัพธ์จะถูกป้อนลงในตารางอนุพันธ์ที่รู้จักกันดีซึ่งรวบรวมฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด
เมื่อแก้ปัญหาที่อนุพันธ์ไซน์คุณสามารถใช้กฎของการสร้างความแตกต่างและสูตรสำเร็จรูปได้จากตาราง ตัวอย่างเช่นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด y = 3 · Sin (x) -15 เราจะใช้กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่างโดยการลบตัวประกอบตัวเลขที่อยู่นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์และคำนวณอนุพันธ์ของจำนวนคงที่ (มันเท่ากับศูนย์) ใช้ค่าตารางของอนุพันธ์ของไซน์ของมุม x เท่ากับ Cos (x) เราได้คำตอบ: y "= 3 · Cos (x) -O อนุพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันพื้นฐานด้วย y = 3 · Cos (x)
อนุพันธ์ของไซน์กำลังสองของอาร์กิวเมนต์ใด ๆ
เมื่อประเมินนิพจน์นี้ (Sin2(x)) 'จำเป็นต้องจำไว้ว่าฟังก์ชันที่ซับซ้อนแตกต่างกันอย่างไร ดังนั้น y = Sin2(x) - เป็นฟังก์ชันกำลังเนื่องจากไซน์เป็นกำลังสอง อาร์กิวเมนต์ของมันยังเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ อาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนผลลัพธ์ในกรณีนี้เท่ากับผลคูณปัจจัยแรกคืออนุพันธ์ของกำลังสองของอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนที่กำหนดและตัวที่สองคืออนุพันธ์ของไซน์ นี่คือลักษณะของกฎสำหรับการแยกแยะฟังก์ชันจากฟังก์ชัน: (u (v (x))) "เท่ากับ (u (v (x)))" · (v (x)) "นิพจน์ v ( x) เป็นอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อน (ฟังก์ชันภายในหากกำหนดฟังก์ชัน "เกมเท่ากับไซน์กำลังสอง x" อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนนี้จะเป็น y "= 2 · Sin (x) · Cos (x) ในผลิตภัณฑ์ปัจจัยสองเท่าแรกคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังที่รู้จักและ Cos (x) คืออนุพันธ์ของไซน์ซึ่งเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ซับซ้อน ผลลัพธ์สุดท้ายสามารถแปลงได้โดยใช้สูตรตรีโกณมิติไซน์สองมุม คำตอบ: อนุพันธ์เท่ากับ Sin (2 x) สูตรนี้จำง่ายมักใช้เป็นตาราง
