Dik açılı bir dörtgen ... Dörtgen bir açının toplamı

Geometride en ilginç konulardan biriBir okul kursu "Dörtgen" dir (8. sınıf). Hangi tür figürler vardır, hangi özel özelliklere sahiptirler? Dokuz derecelik açılarla dörtgenlerin benzersizliği nedir? Her şeyi çözelim.

Hangi geometrik şekle bir dörtgen denir?

Dört kenardan ve buna bağlı olarak dört köşeden (açılardan) oluşan çokgenler, Öklid geometrisinde dörtgen olarak adlandırılır.

İlginç bir hikaye bu tür figürün adıdır.Rus dilinde, “dört köşeli” ismi “dört köşeli” ifadesinden oluşur (tıpkı bir "üçgen" - üç açı, bir "beşgen" - beş açı, vb.).

Ancak, Latince (içindendünyanın birçok dilinde birçok geometrik terim geldi) 'a dörtlü denir. Bu kelime, sayısal kuadri (dört) ve isim latusundan (yan) oluşur. Böylece eskiler arasında bu çokgenin sadece “dört taraflı” olarak adlandırıldığı sonucuna varabiliriz.

Bu arada, böyle bir isim (varlığı üzerinde durularak).Bu tür dört tarafın figürleri, açıların değil) bazı modern dillerde korunur. Örneğin, İngilizce - dört taraflı ve Fransızca - dört taraflı.

При этом в большинстве славянских языков düşünülen rakamlar, yanlar tarafından değil, açıların sayısıyla tanımlanmaktadır. Örneğin, Slovakça (štvoruholník), Bulgarca (“chetirigulnik”), Belarus'ta (“chatyrokhkutnik”), Ukraynaca (“chetirikutnik”), Çekçe (čtyřúhelník), ancak Polonya'da dörtlü, czz.

Okul müfredatında ne tür dörtgen incelenir?

Modern geometride, dört tarafı olan 4 tip çokgen vardır.

• Paralelkenar (paralelkenar). Böyle bir çiftin dörtgeninin karşı tarafları birbirine paraleldir ve buna göre çiftler halinde de eşittir.
• Yamuk (Yamuk veya Yamuk). Bu dörtgen birbirine paralel iki zıt taraftan oluşur. Ancak, diğer çiftlerin böyle bir özelliği yoktur.

Geometri dersinde incelenmeyen dörtgen tipleri

Yukarıdakilere ek olarak, okul çocuklarının özel karmaşıklıkları nedeniyle geometri derslerinde tanıtılmadığı iki tip dörtlü daha vardır.

• Deltoid (uçurtma) - bitişikteki iki çiftin her birininkenarlar birbirine eşit uzunluktadır. Bu dörtgen, görünüşte Yunan alfabesinin harfine benzediği için adını aldı - "delta".
• Parazit önleyici (parazit önleyici) - bu rakam adı kadar karmaşık.İçinde, iki zıt taraf eşittir, ancak birbirlerine paralel değildirler. Ek olarak, bu dörtgenin uzun karşı tarafları, diğer iki daha kısa tarafın uzantıları gibi kesişir.

Paralelkenar çeşitleri

Ana dörtlü tiplerle uğraştıktan sonra, alt türlerine dikkat etmelisiniz. Böylece, tüm paralelkenarlar da dört gruba ayrılır.

• Klasik paralelkenar.
• Eşkenar dörtgen (eşkenar dörtgen) - eşit kenarlara sahip dörtgen bir figür. Köşegenleri dik açılarla kesişir, eşkenar dörtgen dik dört açılı üçgene bölünür.
• Dikdörtgen İsim kendisi için konuşur. Dik açılı bir dikdörtgen olduğu için (her biri doksan dereceye eşittir). Zıt tarafları sadece birbirine paralel değil aynı zamanda eşittir.
• Kare kare). Bir dikdörtgen gibi, bir dörtgendirancak her iki taraf birbirine eşittir. Bu, bu rakamı eşkenar dörtgenin yakınında yapar. Dolayısıyla, bir karenin eşkenar dörtgen ve dikdörtgen arasında bir çarpı olduğu söylenebilir.

Dikdörtgenin özellikleri

Köşelerin her birinin hangi şekillerde olduğunu göz önünde bulundurmakkenarlar arasında, doksan dereceye eşit, dikdörtgenin üzerinde daha yakından durmaya değer. Peki, onu diğer paralelkenarlardan ayıran özellikler nelerdir?

Düşündüğünü iddia etmekparalelkenar bir dikdörtgendir, köşegenleri birbirine eşit olmalı ve köşelerin her biri düz olmalıdır. Ek olarak, köşegenlerinin karesi, bu şeklin bitişik iki tarafının karelerinin toplamına karşılık gelmelidir. Başka bir deyişle, klasik bir dikdörtgen iki dik açılı üçgenden oluşur ve içlerinde bildiğiniz gibi bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Söz konusu dörtgenin köşegenleri hipotenüs gibi davranır.

Последний из перечисленных признаков этой фигуры aynı zamanda onun özel mülkiyetidir. Bunun dışında başkaları da var. Örneğin, incelenen dörtgenin dik açılara sahip tüm taraflarının aynı zamanda yükseklikleri olması.

Ek olarak, herhangi bir dikdörtgenin çevresine bir daire çizerseniz, çapı yazılı şeklin köşegenine eşit olacaktır.

Bu dörtgenin diğer özellikleri arasında,düz ve Öklidyen olmayan geometride yoktur. Bunun nedeni, böyle bir sistemde, açılarının toplamı üç yüz altmış dereceye eşit olan dörtgen figürlerin olmamasıdır.

Meydan ve özellikleri

Bir dikdörtgenin işaretleri ve özellikleri ile uğraştıktan sonra, bilimin bildiği dik açılarla (bu bir karedir) ikinci dörtgene dikkat etmeye değer.

Aslında aynı dikdörtgendir, ancak eşit taraflara sahip olan bu rakamın tüm özellikleri vardır. Ama ondan farklı olarak, kare Öklid olmayan geometride var.

Кроме этого, у данной фигуры, есть и другие kendine özgü özellikler. Örneğin, bir karenin köşegenlerinin sadece birbirine eşit olması değil, aynı zamanda dik açılarda kesişmesi. Böylece, bir eşkenar dörtgen gibi, bir kare içine çaprazlarla bölündüğü dört dik açılı üçgenden oluşur.

Ek olarak, bu rakam tüm dörtgenlerin en simetrikidir.

Dörtgenlerin açılarının toplamı nedir

Öklid geometrisinin dörtgenlerinin özellikleri göz önüne alındığında, açılarına dikkat etmeye değer.

Yani, yukarıdaki rakamların her birinde,dik açıları olup olmadığına bakılmaksızın, toplamları her zaman aynıdır - üç yüz altmış derece. Bu, bu tür bir figürün eşsiz bir özelliğidir.

Dörtgenlerin çevresi

Açıların toplamının neye eşit olduğunu ele almış olmakdörtgen ve bu türden şekillerin diğer özel özellikleri, çevrelerini ve alanlarını hesaplamak için hangi formüllerin en iyi şekilde kullanılacağını öğrenmeye değer.

Herhangi bir dörtgenin çevresini belirlemek için, tüm kenarlarının uzunluğunu toplamanız yeterlidir.

Örneğin, bir KLMN şeklinde, çevresi şu formül kullanılarak hesaplanabilir: P = KL + LM + MN + KN. Burada sayıları değiştirirseniz, şunu elde edersiniz: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Söz konusu figürün eşkenar dörtgen olması durumundaveya bir kare, çevreyi bulmak için, formülü basitleştirmek için kenarlarından birinin uzunluğunu dörtle çarpabilirsiniz: P = KL x 4. Örneğin: 6 x 4 = 24 (cm).

Alan dörtgen formülleri

Dört köşeli ve kenarlı herhangi bir şeklin çevresini nasıl bulacağınızı bulduktan sonra, alanını bulmanın en popüler ve basit yollarını düşünmeye değer.

• Bunu hesaplamanın klasik yoluS = 1/2 KM x LN x SIN LON formülünü kullanın. Herhangi bir dörtgenin alanının, köşegenlerinin aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısı olduğu ortaya çıktı.
• Alanı bulunacak figür isedikdörtgen veya kare (köşegenleri her zaman birbirine eşittir), bir köşegenin uzunluğunun karesini alıp aralarındaki açının sinüsüyle çarparak ve her şeyi ikiye bölerek formülü basitleştirebilirsiniz. Örneğin: S = 1/2 KM ² x SIN LON.
• Ayrıca, bir dikdörtgenin alanını bulurken,söz konusu şeklin çevresi ve kenarlarından birinin uzunluğu hakkında yardım bilgileri. Bu durumda, S = KN x (P - 2 KN) / 2 formülünü kullanmak en uygun yöntem olacaktır.
• Kare olması durumunda, özellikleri bir alan bulmak için birkaç ek formül kullanmanıza izin verir. Örneğin, şeklin çevresini bilmek, bu seçeneği kullanabilirsiniz: S = P ²/ 16. Ve eğer dörtgene çizilmiş dairenin yarıçapı biliniyorsa, karenin alanı çok benzer bir şekilde bulunur: S = 4r²... Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı biliniyorsa, başka bir formül işe yarar: S = 2R²... Ayrıca karenin alanı, şeklin köşesinden karşı tarafın ortasına çizilen çizginin uzunluğunun 0,8 katıdır.
• Yukarıdakilerin hepsinin yanı sıra, ayrıcaParalelkenar için özel olarak hesaplanan alanı bulmak için ayrı bir formül. Figürün iki yüksekliğinin uzunluğu ve aralarındaki açının boyutu biliniyorsa uygulanabilir. Daha sonra yükseklikler kendi aralarında ve aralarındaki açının sinüsü ile çarpılmalıdır. Bu formülün paralelkenarlara (yani bir dikdörtgene, eşkenar dörtgene ve kareye) ait tüm şekiller için kullanılabileceğini belirtmek gerekir.

Dörtgenlerin diğer özellikleri: yazılı ve sınırlı daireler

Bir dörtgenin özelliklerini ve özelliklerini Öklid geometrisinin bir figürü olarak düşündükten sonra, etrafındaki daireleri tanımlama veya yazma yeteneğine dikkat etmeye değer:

• Şeklin zıt açılarının toplamları her biri yüz seksen derece ise ve çiftler halinde eşitse, böyle bir dörtgen etrafında bir daire serbestçe tanımlanabilir.
• Ptolemy teoremine göre, eğer dışarıdaysadört kenarı olan bir çokgenin bir çemberi tarif edilir, daha sonra köşegenlerinin çarpımı, bu şeklin karşıt kenarlarının çarpımlarının toplamına eşittir. Böylece formül şu şekilde görünecektir: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Karşıt tarafların toplamlarının birbirine eşit olduğu bir dörtgen oluşturursanız, o zaman içine bir daire yazılabilir.

Dörtgenin ne olduğunu anladıktan sonra,Ne tür var, hangisinin sadece kenarlar arasında sadece dik açıları var ve sahip oldukları özellikler, tüm bu materyali hatırlamaya değer. Özellikle, dikkate alınan çokgenlerin çevresini ve alanını bulma formülü. Sonuçta, bu şeklin figürleri en yaygın olanlardan biridir ve bu bilgi gerçek hayatta hesaplamalar için faydalı olabilir.