Tilbage i skolen studerede vi alle ligninger ogsandsynligvis et ligningssystem. Men ikke mange mennesker ved, at der er flere måder at løse dem på. I dag analyserer vi detaljeret alle metoder til løsning af et system med lineære algebraiske ligninger, der består af mere end to ligheder.
I dag er det kendt, at kunstat løse ligninger og deres systemer stammer fra det gamle Babylon og Egypten. Imidlertid optrådte lighed i deres sædvanlige form efter optræden af ligetegnet "=", som blev introduceret i 1556 af den engelske matematiker Record. Forresten blev dette tegn valgt af en grund: det betyder to parallelle lige segmenter. Der er faktisk ikke noget bedre eksempel på lighed.
Grundlæggeren af moderne alfabetiskukendt notation og gradtegn er den franske matematiker François Viet. Imidlertid var dens betegnelser væsentligt forskellige fra i dag. For eksempel betegnede han firkanten af et ukendt nummer med bogstavet Q (latin "quadratus") og terningen med bogstavet C (latin "cubus"). Disse notationer synes akavet nu, men så var det den mest forståelige måde at skrive systemer med lineære algebraiske ligninger på.
Imidlertid er ulempen ved de daværende metoder til løsningvar, at matematikere kun betragtede positive rødder. Måske skyldes det, at negative værdier ikke havde nogen praktisk anvendelse. På en eller anden måde var det de italienske matematikere Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano og Rafael Bombelli, der var de første til at overveje negative rødder i det 16. århundrede. Og den moderne form, den vigtigste metode til løsning af kvadratiske ligninger (gennem den diskriminerende) blev kun skabt i det 17. århundrede takket være værkerne fra Descartes og Newton.
Midt i det 18. århundrede schweiziske matematiker GabrielKramer fandt en ny måde at gøre det lettere at løse systemer til lineære ligninger. Denne metode blev senere opkaldt efter ham, og til i dag bruger vi den. Men vi vil tale om Cramer-metoden lidt senere, men indtil videre vil vi diskutere lineære ligninger og metoder til deres løsning separat fra systemet.
Lineære ligninger er de enkleste lighed med en variabel (er). De er klassificeret som algebraisk. Lineære ligninger skrives i generel form som følger: a1* x1+ a2 *med2+ ... an* xn= b. Vi har brug for deres repræsentation i denne form, når vi kompilerer systemer og matricer yderligere.
Definitionen af dette udtryk er som følger: det er et sæt ligninger, der har fælles ukendte og en fælles løsning. Som regel blev alle i skolen løst af systemer med to eller endda tre ligninger. Men der er systemer med fire eller flere komponenter. Lad os først finde ud af, hvordan vi skriver dem ned, så det er praktisk at løse senere. For det første vil systemer med lineære algebraiske ligninger se bedre ud, hvis alle variabler skrives som x med det relevante indeks: 1,2,3 og så videre. For det andet skal alle ligninger reduceres til kanonisk form: a1* x1+ a2 *med2+ ... an* xn= b.
Efter alle disse trin kan vi begynde at fortælle, hvordan man finder en løsning på systemer med lineære ligninger. Matricer er meget nyttige til dette.
Matrix er en tabel, der består af rækker ogkolonner, og ved deres skæringspunkt er dens elementer. Disse kan enten være specifikke værdier eller variabler. For at udpege elementer placeres der ofte abonnementer under dem (for eksempel a11 eller a23). Det første indeks er række nummer og det andet er kolonnen. Forskellige operationer kan udføres på matricer såvel som på ethvert andet matematisk element. Således kan du:
1) Træk og tilføj tabeller af samme størrelse.
2) Multiplicer matrixen med et hvilket som helst tal eller vektor.
3) Transponere: transformer matrixens rækker til kolonner og kolonnerne til rækker.
4) Multiplicer matricer, hvis antallet af rækker i en af dem er lig med antallet af kolonner i den anden.
Vi vil diskutere alle disse teknikker mere detaljeret, da devil være nyttigt for os i fremtiden. Subtraktion og tilføjelse af matricer er meget enkel. Da vi tager matricer af samme størrelse, svarer hvert element i den ene tabel til hvert element i den anden. Således tilføjer (fratræk) disse to elementer (det er vigtigt, at de står de samme steder i deres matricer). Når du multiplicerer en matrix med et tal eller en vektor, skal du bare multiplicere hvert element i matrixen med det tal (eller vektor). Transponering er en meget interessant proces. Det er undertiden meget interessant at se det i det virkelige liv, for eksempel når man ændrer retningen på en tablet eller telefon. Ikonerne på skrivebordet er en matrix, og når du ændrer position, transponeres den og bliver bredere, men falder i højden.
Lad os også analysere en sådan proces som matrixmultiplikation.Selvom det ikke vil være nyttigt for os, vil det stadig være nyttigt at kende det. Du kan kun gange to matricer, hvis antallet af kolonner i den ene tabel er lig med antallet af rækker i den anden. Lad os nu tage elementerne i en række med en matrix og elementerne i den tilsvarende kolonne i en anden. Vi multiplicerer dem med hinanden og tilføjer dem derefter (det vil sige for eksempel produktet af elementerne a11 og a12 på b12 og b22 vil være lig med: a11* b12 + a12* b22). Således opnås et element i tabellen, og ved en lignende metode udfyldes det yderligere.
Nu kan vi begynde at overveje, hvordan systemet med lineære ligninger løses.
Dette emne begynder at blive diskuteret i skolen. Vi kender godt begrebet "system med to lineære ligninger" og er i stand til at løse dem. Men hvad nu hvis der er mere end to ligninger? Gauss-metoden hjælper os med dette.
Selvfølgelig er denne metode praktisk at bruge, hvis du laver en matrix ud af systemet. Men du kan ikke transformere det og løse det i sin reneste form.
Så hvordan er systemet med lineærGauss ligninger? Forresten, selvom denne metode er opkaldt efter ham, blev den opdaget i antikken. Gauss foreslår følgende: at udføre operationer med ligninger for til sidst at bringe hele sættet i en trinvis form. Det vil sige, det er nødvendigt, at fra top til bund (hvis den placeres korrekt) fra den første ligning til den sidste falder i en ukendt. Med andre ord er vi nødt til at sikre, at vi får, siger, tre ligninger: i den første - tre ukendte, i den anden - to, i den tredje - en. Derefter fra den sidste ligning finder vi den første ukendte, erstatter dens værdi i den anden eller første ligning og finder derefter de resterende to variabler.
For at mestre denne metode er det afgørendebesidder færdighederne i addition, subtraktion af matricer, og du skal også være i stand til at finde determinanter. Derfor, hvis du gør alt dette dårligt eller slet ikke ved hvordan, bliver du nødt til at lære og øve.
Hvad er essensen af denne metode, og hvordan man gør det til detfået et system med lineære Kramer ligninger? Alt er meget simpelt. Vi er nødt til at konstruere en matrix ud fra de numeriske (næsten altid) koefficienter i et system med lineære algebraiske ligninger. For at gøre dette tager vi simpelthen tallene foran de ukendte og placerer dem i tabellen i den rækkefølge, de er skrevet i systemet. Hvis tallet er forud for et "-" tegn, skal du skrive en negativ koefficient ned. Så vi har samlet den første matrix af koefficienterne for de ukendte, ikke inkluderer tallene efter lige tegn (naturligvis skal ligningen reduceres til den kanoniske form, når kun et tal er til højre, og alle ukendte med koefficienter er til venstre). Derefter skal du oprette et par flere matricer - en for hver variabel. For at gøre dette skal du i den første matrix udskifte hver kolonne med koefficienterne med kolonnen med tal efter lige tegn. Således opnår vi flere matricer og finder derefter deres determinanter.
Efter vi har fundet kvalifikationerne, er sagen forlille. Vi har en indledende matrix, og der er flere resulterende matricer, der svarer til forskellige variabler. For at opnå systemløsninger dividerer vi determinanten for den resulterende tabel med determinanten for den oprindelige tabel. Det resulterende tal er værdien af en af variablerne. På samme måde finder vi alle ukendte.
Der er flere flere metoder tilfå en løsning på systemer med lineære ligninger. For eksempel den såkaldte Gauss-Jordan-metode, som bruges til at finde løsninger på et system med kvadratiske ligninger og også er forbundet med brugen af matricer. Der er også Jacobis metode til løsning af et system med lineære algebraiske ligninger. Det er nemmest at tilpasse sig en computer og bruges i computing.
Kompleksitet opstår normalt, hvis antallet af ligningerfærre variabler. Så kan vi med sikkerhed sige, at enten systemet er inkompatibelt (det vil sige, det har ingen rødder), eller at antallet af dets løsninger har en tendens til uendelig. Hvis vi har det andet tilfælde, skal vi nedskrive den generelle løsning af et system med lineære ligninger. Den indeholder mindst én variabel.
Her kommer vi til slutningen.For at opsummere: vi har analyseret, hvad et system og en matrix er, lært at finde en generel løsning på et system med lineære ligninger. Derudover overvejede vi andre muligheder. Vi fandt ud af, hvordan systemet med lineære ligninger løses: Gauss-metoden og Cramer-metoden. Vi talte om vanskelige sager og andre måder at finde løsninger på.
Faktisk er dette emne meget mere omfattende, og hvis du vil forstå det bedre, så råder vi dig til at læse mere specialiseret litteratur.
