Η απλούστερη λειτουργία τριγωνομετρίας y = Sin (x),είναι διαφοροποιήσιμο σε κάθε σημείο της από ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Είναι απαραίτητο να αποδείξουμε ότι το παράγωγο του ημιτονοειδούς οποιουδήποτε επιχειρήματος είναι ίσο με το συνημίτονο της ίδιας γωνίας, δηλαδή, = = Cos (x).
Η απόδειξη βασίζεται στον ορισμό μιας παράγωγης συνάρτησης
Ορίζουμε x (αυθαίρετη) σε μια μικρή γειτονία Δx ενός συγκεκριμένου σημείου x0. Δείχνουμε την αξία της συνάρτησης σε αυτήν και στο σημείο x για να βρούμε την αύξηση της δεδομένης συνάρτησης. Αν Δx είναι η αύξηση του argument, τότε το νέο επιχείρημα είναι x0+ Δx = x, η τιμή αυτής της συνάρτησης για μια δεδομένη τιμή του όρου y (x) είναι Sin (x0+ Δx), η τιμή της συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο y (x0) είναι επίσης γνωστή.
Τώρα έχουμε Δy = Sin (x0+ Δχ) -Sin (χ0) Είναι η ληφθείσα αύξηση της συνάρτησης.
Χρησιμοποιώντας τη συνθετική φόρμουλα, το άθροισμα των δύο διαφορετικών γωνιών μετασχηματίζει τη διαφορά Δου.
Δy = Sin (x0) Cos (Δx) + Cos (x0) Sin (Δx) μείον Sin (x0) = (Cos (Δx) -1) Sin (χ0) + Cos (x0) · Sin (Δχ).
Πραγματοποιήσαμε μια μετάθεση των όρων, ομαδοποιήσαμε την πρώτη με την τρίτη Sin (x0), έφερε τον κοινό παράγοντα - ημιτονοειδές - εκτός των παρενθέσεων.Στην έκφραση ελήφθη η διαφορά Cos (Δx) -1. Παραμένει να αλλάξετε το σημάδι μπροστά από το βραχίονα και στις αγκύλες. Γνωρίζοντας τι είναι 1-Cos (Δx), κάνουμε μια αντικατάσταση και έχουμε μια απλοποιημένη έκφραση Δy, την οποία διαιρούμε στη συνέχεια με Δx.
Δu / Δχ θα έχει τη μορφή: Cos (x0) Sin (Δx) / Δx-2 Sin2(0,5 · Δχ) · Sin (χ0) / Δx. Αυτός είναι ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης με την επιτρεπόμενη αύξηση του όρου.
Παραμένει να βρούμε το όριο της σχέσης lim που λαμβάνουμε από εμάς για Δx, τείνοντας στο μηδέν.
Είναι γνωστό ότι το όριο Sin (Δx) / Δx είναι 1, υπό αυτές τις συνθήκες. Και η έκφραση 2 · Sin2(0,5 · Δχ) / Δχ στο προκύπτον πηλίκομετασχηματισμούς στο προϊόν που περιέχει το πρώτο αξιόλογο όριο ως παράγοντας: διαιρούμε τον αριθμητή και τον αρνητήρα του κλάσματος κατά 2, αντικαταστήστε το τετράγωνο του ημιτονοειδούς με το προϊόν. Έτσι:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Το όριο αυτής της έκφρασης για Δx που τείνει στο μηδέν θα είναι ίσο με μηδέν (1 φορές 0). Αποδεικνύεται ότι το όριο του λόγου Δy / Δχ είναι το Cos (x0) · 1-0, αυτό είναι το Cos (x0), μια έκφραση που δεν εξαρτάται από Δx, που τείνει στο 0. Επομένως το συμπέρασμα ακολουθεί: το παράγωγο του ημιώτου οποιασδήποτε γωνίας x είναι ίσο με το συνημίτονο του x, το γράφουμε έτσι: y '= Cos (x).
Ο τύπος που προκύπτει εισάγεται στον γνωστό πίνακα των παραγώγων, όπου συλλέγονται όλες οι στοιχειώδεις λειτουργίες
Κατά την επίλυση προβλημάτων όπου συμβαίνει το παράγωγοsine, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες διαφοροποίησης και έτοιμες φόρμουλες από τον πίνακα. Για παράδειγμα: βρείτε το παράγωγο της απλούστερης συνάρτησης y = 3 · Sin (x) -15. Χρησιμοποιούμε τους στοιχειώδεις κανόνες διαφοροποίησης, αφαιρώντας τον αριθμητικό παράγοντα πίσω από το σημείο του παραγώγου και υπολογίζοντας το παράγωγο ενός σταθερού αριθμού (είναι μηδέν). Εφαρμόζουμε την πινακοειδή τιμή του παραγώγου του ημιτόνου της γωνίας x, ίση με το Cos (x). Έχουμε την απάντηση: y "= 3 · Cos (x) -O. Αυτό το παράγωγο, με τη σειρά του, είναι επίσης μια στοιχειώδης συνάρτηση y = 3 · Cos (x).
Το παράγωγο του ημιτονοειδούς τετραγώνου από οποιοδήποτε επιχείρημα
Κατά την αξιολόγηση αυτής της έκφρασης (Sin2(x)) «είναι απαραίτητο να υπενθυμίσουμε πώς διαφοροποιείται μια σύνθετη λειτουργία. Έτσι y = sin2(x) - είναι μια συνάρτηση ισχύος, αφού το ημίτονο είναι τετράγωνο. Το επιχείρημά του είναι επίσης μια τριγωνομετρική λειτουργία, δύσκολο επιχείρημα.Το αποτέλεσμα σε αυτή την περίπτωση είναι ίσο με το προϊόν, ο πρώτος παράγοντας του οποίου είναι το παράγωγο του τετραγώνου του δεδομένου σύνθετου επιχειρήματος, και το δεύτερο είναι το παράγωγο του ημιτονοειδούς. Εδώ είναι ο κανόνας της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης από μια συνάρτηση μοιάζει με: (u (v (x))) "ισούται με (u (v (x)))" (v (x) ) Εάν η συνάρτηση "το παιχνίδι ισούται με το τετράγωνο ημίτονο x" δίνεται, τότε το παράγωγο αυτής της σύνθετης συνάρτησης θα είναι "= 2 · Sin (x) · Cos (x). Στο προϊόν, ο πρώτος διπλός παράγοντας είναι το παράγωγο της γνωστής συνάρτησης ισχύος και το Cos (x) είναι το παράγωγο του ημίτονο, το επιχείρημα μιας πολύπλοκης τετραγωνικής συνάρτησης. Το τελικό αποτέλεσμα μπορεί να μετασχηματιστεί χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό ημιτονοειδή τύπο της διπλής γωνίας. Απάντηση: το παράγωγο είναι ίσο με Sin (2 · x). Αυτή η φόρμουλα είναι εύκολο να θυμηθεί, χρησιμοποιείται συχνά ως τραπέζι.
