Τρίγωνο, τετράγωνο, εξάγωνο - αυτά τα σχήματαγνωστό σε όλους σχεδόν. Αλλά μακριά από όλους ξέρει τι είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Αλλά αυτά είναι όλα τα ίδια γεωμετρικά σχήματα. Ένα κανονικό πολύγωνο ονομάζεται ένα που έχει ίσες γωνίες και πλευρές μεταξύ τους. Υπάρχουν πολλά τέτοια σχήματα, αλλά όλα έχουν τις ίδιες ιδιότητες και ισχύουν οι ίδιοι τύποι.
Οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο, είτε πρόκειται για τετράγωνοή οκτάγωνο, μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Αυτή η βασική ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά κατά την κατασκευή ενός σχήματος. Επιπλέον, ο κύκλος μπορεί επίσης να εγγραφεί στο πολύγωνο. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των σημείων επαφής θα είναι ίσος με τον αριθμό των πλευρών του. Είναι σημαντικό ο κύκλος που είναι εγγεγραμμένος στο κανονικό πολύγωνο να έχει ένα κοινό κέντρο με αυτό. Αυτά τα γεωμετρικά σχήματα υπόκεινται σε ένα θεώρημα. Οποιαδήποτε πλευρά ενός κανονικού n-gon συνδέεται με την ακτίνα του κύκλου R που περιγράφεται κοντά του. Επομένως, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: а = 2R ∙ sin180 °. Μέσα από την ακτίνα του κύκλου, μπορείτε να βρείτε όχι μόνο τις πλευρές, αλλά και την περίμετρο του πολυγώνου.
Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι σωστόπολύγωνο. Οι τύποι εφαρμόζονται σε αυτό το ίδιο με το τετράγωνο και το n-gon. Ένα τρίγωνο θα θεωρείται σωστό εάν έχει τις ίδιες πλευρές σε μήκος. Οι γωνίες είναι 60⁰. Κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο με δεδομένο μήκος των πλευρών α. Γνωρίζοντας το διάμεσο και το ύψος του, μπορείτε να βρείτε το νόημα των πλευρών του. Για να το κάνουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εύρεσης μέσω του τύπου a = x: cosα, όπου x είναι η διάμεσος ή το ύψος. Δεδομένου ότι όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι ίσες, παίρνουμε a = b = c. Τότε θα ισχύει η ακόλουθη δήλωση: a = b = c = x: cosα. Παρομοίως, μπορείτε να βρείτε την τιμή των πλευρών σε ένα ισογωνικό τρίγωνο, αλλά το x θα είναι δεδομένο ύψος. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να προβάλλεται αυστηρά στη βάση του σχήματος. Γνωρίζοντας λοιπόν το ύψος x, βρίσκουμε την πλευρά a του ισογώνιου τριγώνου με τον τύπο a = b = x: cosα. Αφού βρούμε την τιμή a, μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος της βάσης c. Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ψάχνουμε για την τιμή της μισής βάσης c: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Στη συνέχεια, c = 2xtgα. Με έναν τόσο απλό τρόπο, μπορείτε να βρείτε τον αριθμό των πλευρών οποιουδήποτε εγγεγραμμένου πολυγώνου.
Όπως κάθε άλλη εγγεγραμμένη σωστήπολύγωνο, το τετράγωνο έχει ίσες πλευρές και γωνίες. Οι ίδιοι τύποι εφαρμόζονται σε αυτό όπως και στο τρίγωνο. Οι πλευρές του τετραγώνου μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τη διαγώνια τιμή. Εξετάστε αυτήν τη μέθοδο με περισσότερες λεπτομέρειες. Είναι γνωστό ότι η διαγώνια διαιρεί τη γωνία στο μισό. Αρχικά, η τιμή του ήταν 90 μοίρες. Έτσι, μετά τη διαίρεση, σχηματίζονται δύο ορθογώνια τρίγωνα. Οι γωνίες τους στη βάση θα είναι ίσες με 45 μοίρες. Αντίστοιχα, κάθε πλευρά του τετραγώνου θα είναι ίση, δηλαδή: Αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος για να βρείτε τις πλευρές της πλατείας. Συμπληρώστε αυτό το σχήμα σε κύκλο. Γνωρίζοντας την ακτίνα αυτού του κύκλου R, βρίσκουμε την πλευρά του τετραγώνου. Θα το υπολογίσουμε ως εξής a4 = R√2. Οι ακτίνες των κανονικών πολυγώνων υπολογίζονται με τον τύπο R = a: 2tg (360ο: 2n), όπου a είναι το μήκος της πλευράς.
Η περίμετρος ενός n-gon είναι το άθροισμα όλων τωνπάρτι. Δεν είναι δύσκολο να υπολογιστεί. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τις αξίες όλων των μερών. Για ορισμένους τύπους πολυγώνων, υπάρχουν ειδικοί τύποι. Σας επιτρέπουν να βρείτε την περίμετρο πολύ πιο γρήγορα. Είναι γνωστό ότι οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο έχει ίσες πλευρές. Επομένως, για να υπολογίσουμε την περίμετρο του, αρκεί να γνωρίζουμε τουλάχιστον ένα από αυτά. Ο τύπος θα εξαρτηθεί από τον αριθμό των πλευρών του σχήματος. Γενικά, μοιάζει με αυτό: P = an, όπου a είναι η τιμή της πλευράς και n είναι ο αριθμός των γωνιών. Για παράδειγμα, για να βρείτε την περίμετρο ενός κανονικού οκταγώνου με πλευρά 3 cm, πρέπει να τον πολλαπλασιάσετε με 8, δηλαδή, P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Για ένα εξάγωνο με πλευρά 5 cm, υπολογίστε αυτό: P = 5 ∙ 6 = 30 cm. Και έτσι για κάθε πολύγωνο.
Ανάλογα με το πόσες πλευρές έχεικανονικό πολύγωνο · υπολογίζεται η περίμετρος του. Αυτό διευκολύνει πολύ το έργο. Πράγματι, σε αντίθεση με άλλα σχήματα, σε αυτήν την περίπτωση δεν είναι απαραίτητο να αναζητήσουμε όλες τις πλευρές του, μόνο μία. Με την ίδια αρχή, βρίσκουμε την περίμετρο των τετραγώνων, δηλαδή το τετράγωνο και τον ρόμβο. Παρά το γεγονός ότι αυτά είναι διαφορετικά σχήματα, ο τύπος για αυτούς είναι ένα P = 4a, όπου το a είναι το πλάι. Δίνουμε ένα παράδειγμα. Εάν η πλευρά του ρόμβου ή του τετραγώνου είναι 6 cm, τότε βρίσκουμε την περίμετρο ως εξής: P = 4 ∙ 6 = 24 cm. Μόνο οι αντίθετες πλευρές είναι ίσες για ένα παραλληλόγραμμο. Επομένως, η περίμετρος του βρίσκεται χρησιμοποιώντας άλλη μέθοδο. Πρέπει λοιπόν να γνωρίζουμε το μήκος και το πλάτος των σχημάτων. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον τύπο P = (a + c) ∙ 2. Ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και οι γωνίες μεταξύ τους ονομάζεται ρόμβος.
Η περίμετρος ενός κανονικού ισόπλευρου τριγώνουμπορεί να βρεθεί με τον τύπο P = 3a, όπου a είναι το μήκος της πλευράς. Εάν είναι άγνωστη, μπορεί να βρεθεί μέσω του διάμεσου. Σε ένα σωστό τρίγωνο, μόνο δύο πλευρές έχουν ίση σημασία. Η βάση βρίσκεται μέσα από το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αφού γίνουν γνωστές οι τιμές και των τριών πλευρών, υπολογίζουμε την περίμετρο. Μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο P = a + b + c, όπου a και b είναι ίσες πλευρές, και c είναι η βάση. Θυμηθείτε ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο a = b = a, που σημαίνει ότι a + b = 2a, τότε P = 2a + c. Για παράδειγμα, η πλευρά ενός ισογώνιου τριγώνου είναι 4 cm, θα βρούμε τη βάση και την περίμετρο του. Υπολογίζουμε την τιμή της υποτενούς χρήσης από το Πυθαγόρειο θεώρημα με = √а2 + σε2 = √16 + 16 = √32 = 5,65 εκ. Τώρα υπολογίζουμε την περίμετρο P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Φυσικά υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε γωνίεςπολύγωνα. Τις περισσότερες φορές υπολογίζονται σε μοίρες. Αλλά μπορείτε επίσης να τα εκφράσετε σε ακτίνια. Πως να το κάνεις? Πρέπει να προχωρήσετε ως εξής. Αρχικά, ανακαλύπτουμε τον αριθμό πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου και μετά αφαιρούμε το 2. Έτσι, λαμβάνουμε την τιμή: n - 2. Πολλαπλασιάζουμε τη διαφορά που βρέθηκε με τον αριθμό n ("pi" = 3.14). Τώρα το μόνο που μένει είναι να διαιρέσουμε το προκύπτον προϊόν με τον αριθμό των γωνιών στο n-gon. Εξετάστε αυτούς τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του ίδιου εξαγώνου. Έτσι, ο αριθμός n είναι 15. Ας εφαρμόσουμε τον τύπο S = n (n - 2): n = 3.14 (15 - 2): 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. Φυσικά, αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος υπολογισμού της γωνίας σε ακτίνια. Μπορείτε απλά να διαιρέσετε τη γωνία σε μοίρες με 57,3. Σε τελική ανάλυση, ακριβώς αυτός ο αριθμός βαθμών είναι ισοδύναμος με ένα ακτίνιο.
Εκτός από μοίρες και ακτίνια, η αξία των γωνιώντο κανονικό πολύγωνο μπορεί να βρεθεί σε βαθμίδες. Αυτό γίνεται ως εξής. Αφαιρέστε το 2 από τον συνολικό αριθμό γωνιών, διαιρέστε την προκύπτουσα διαφορά με τον αριθμό πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου. Πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα που βρέθηκε με 200. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια μονάδα μέτρησης γωνιών ως μοίρες δεν χρησιμοποιείται πρακτικά.
Οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο εκτόςεσωτερικά, μπορείτε επίσης να υπολογίσετε την εξωτερική γωνία. Η σημασία του βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο όπως και για άλλες μορφές. Έτσι, για να βρείτε την εξωτερική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου, πρέπει να γνωρίζετε την αξία του εσωτερικού. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι το άθροισμα αυτών των δύο γωνιών είναι πάντα 180 μοίρες. Επομένως, κάνουμε τους υπολογισμούς ως εξής: 180⁰ μείον την τιμή της εσωτερικής γωνίας. Βρές την διαφορά. Θα είναι ίση με την τιμή της γειτονικής γωνίας. Για παράδειγμα, η εσωτερική γωνία του τετραγώνου είναι 90 μοίρες, έτσι το εξωτερικό θα είναι 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Όπως μπορούμε να δούμε, δεν είναι δύσκολο να το βρούμε. Η εξωτερική γωνία μπορεί να πάρει μια τιμή από + 180⁰ έως -180⁰, αντίστοιχα.
