सरलतम त्रिकोणमिति समारोह y = पाप (x) को देखते हुए,यह परिभाषा के संपूर्ण डोमेन से इसके प्रत्येक बिंदु पर भिन्न है। यह साबित करना आवश्यक है कि किसी भी तर्क की साइन की व्युत्पत्ति उसी कोण के कोसाइन के बराबर है, अर्थात, y '= cos (x)।
प्रमाण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा पर आधारित है
हम एक विशिष्ट बिंदु x के कुछ छोटे पड़ोस में x (मनमाना) को परिभाषित करते हैं0... दिए गए फ़ंक्शन की वृद्धि को खोजने के लिए, हम उस पर और बिंदु x पर फ़ंक्शन का मान दिखाते हैं। यदि Δx तर्क की वृद्धि है, तो नया तर्क x है0+ +x = x, तर्क y (x) के दिए गए मान के लिए इस फ़ंक्शन का मूल्य पाप (x) के बराबर है0+ +x), एक विशेष बिंदु पर फ़ंक्शन का मान y (x)0) भी जाना जाता है।
अब हमारे पास wey = Sin (x) है0+ Δх) -सिन (x)0) फ़ंक्शन का परिणामी वृद्धि है।
दो असमान कोणों के योग के सूत्र के अनुसार, हम अंतर को बदल देंगे।
Δу = पाप (x)0) Cos (Δx) + Cos (x)0) पाप (Sinx) शून्य से पाप (x)0) = (Cos (Δx) -1) पाप (x)0) + कोस (x)0) पाप (Sinх)।
शर्तों को अनुमति दी, पहले को तीसरे पाप (x) के साथ समूहीकृत किया0), सामान्य कारक - साइन - कोष्ठक के बाहर। अभिव्यक्ति में अंतर को प्राप्त किया Cos (inx) -1। यह कोष्ठक के सामने और कोष्ठक में संकेत बदलने के लिए रहता है। यह जानना कि 1-cos ()х) के बराबर क्या है, हम एक प्रतिस्थापन करेंगे और thenу के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति प्राप्त करेंगे, जिसे हम Δх द्वारा विभाजित करते हैं।
Δу / willх का फ़ॉर्म होगा: Cos (x)0) पाप (Sinх) / Δх-२ पाप2(0.5 Δx) पाप (x)0) / Δх। यह अनुमत तर्क वृद्धि के लिए फ़ंक्शन वेतन वृद्धि का अनुपात है।
यह हमारे द्वारा प्राप्त अनुपात की सीमा को खोजने के लिए बना हुआ है क्योंकि endsx शून्य पर जाता है।
यह ज्ञात है कि इस शर्त के तहत पाप ()x) / isx सीमा 1 है। और अभिव्यक्ति 2 पाप2(0.5 quotх) / inх प्राप्त भागफल में हमें राशि देंएक कारक के रूप में पहली उल्लेखनीय सीमा वाले उत्पाद में परिवर्तन: हम अंश के अंश और युग्मक को 2 से विभाजित करते हैं, और उत्पाद के साथ साइन के वर्ग को प्रतिस्थापित करते हैं। इस कदर:
(पाप (0.5 )x) / (0.5 )x)) पाप (2x / 2)।
इस अभिव्यक्ति की सीमा tx के साथ शून्य करने की प्रवृत्ति शून्य के बराबर होगी (1 को 0 से गुणा करने पर)। यह पता चला है कि अनुपात outy / equalх की सीमा Cos (x) के बराबर है0) 1-0, यह कॉस (x) है0), एक अभिव्यक्ति जो anx पर निर्भर नहीं है। 0. इसलिए निष्कर्ष इस प्रकार है: किसी भी कोण x के साइन की व्युत्पत्ति कोसाइन x के बराबर है, हम इसे निम्नानुसार लिखते हैं: y '= cos (x)।
परिणामी सूत्र को डेरिवेटिव की प्रसिद्ध तालिका में दर्ज किया गया है, जहां सभी प्राथमिक कार्य एकत्र किए जाते हैं
समस्याओं को हल करते समय कहां व्युत्पन्नसाइन, आप तालिका से विभेदन और तैयार किए गए सूत्रों के नियमों का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए: सबसे सरल फलन y = 3 · पाप (x) -15 का व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए। हम विभेदन के प्राथमिक नियमों का उपयोग करेंगे, व्युत्पन्न के संकेत के बाहर एक संख्यात्मक कारक को हटाकर, और एक स्थिर संख्या के व्युत्पन्न की गणना करेंगे (यह शून्य के बराबर है)। हम कोस x (s) के बराबर कोण x के साइन के व्युत्पन्न का सारणीमान मूल्य लागू करते हैं। हमें उत्तर मिलता है: y "= 3 · Cos (x) -O। यह व्युत्पन्न, बदले में, एक प्राथमिक कार्य y = 3 · Cos (x) भी है।
किसी भी तर्क के व्युत्पन्न वर्ग
इस अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करते समय (पाप2(x)) 'यह याद रखना आवश्यक है कि एक जटिल कार्य कैसे विभेदित होता है। तो य = पाप2(x) - एक पावर फंक्शन है, क्योंकि साइन स्क्वैयर होता है। इसका तर्क एक त्रिकोणमितीय कार्य भी है, जटिल तर्क। इस मामले में परिणाम उत्पाद के बराबर है, जिसमें से पहला कारक दिए गए जटिल तर्क के वर्ग का व्युत्पन्न है, और दूसरा साइन का व्युत्पन्न है। यहाँ बताया गया है कि फ़ंक्शन से फ़ंक्शन को अलग करने का नियम कैसा दिखता है: (u (v (x))) "(u (v (x)))" · (v (x)) "के बराबर है। एक्सप्रेशन v (x) एक जटिल तर्क (आंतरिक फ़ंक्शन) है। यदि फ़ंक्शन "गेम साइन स्क्वेर एक्स के बराबर है" दिया गया है, तो इस जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y "= 2 · पाप (एक्स) · कॉस (एक्स) होगा। उत्पाद में, पहला दोगुना कारक एक ज्ञात शक्ति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है, और कॉस (एक्स) साइन का व्युत्पन्न है, एक जटिल द्विघात फ़ंक्शन का तर्क है। अंतिम परिणाम डबल कोण साइन त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है। उत्तर: व्युत्पन्न पाप (2 x) के बराबर है। यह सूत्र याद रखना आसान है, इसका उपयोग अक्सर सारणीबद्ध के रूप में किया जाता है।
