तर्कसंगत संख्याएं क्या हैं?पुराने और गणित के छात्रों को इस प्रश्न का उत्तर आसानी से देने की संभावना है। लेकिन जो लोग पेशे से इससे दूर हैं, उनके लिए यह और मुश्किल होगा। यह वास्तव में क्या है?
तर्कसंगत संख्याओं से हमारा अभिप्राय हैजिसे एक साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य भी इस सेट में शामिल हैं। अंश का अंश एक पूर्णांक होना चाहिए, और हर एक प्राकृतिक संख्या होना चाहिए।
गणित में इस सेट को Q औरजिसे "परिमेय संख्याओं का क्षेत्र" कहा जाता है। इसमें सभी पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएं शामिल हैं, जिन्हें क्रमशः Z और N के रूप में निरूपित किया गया है। सेट Q को सेट R में शामिल किया गया है। यह पत्र है जो तथाकथित वास्तविक या वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है।
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, तर्कसंगत संख्याएं हैंएक सेट जिसमें सभी पूर्णांक और आंशिक मूल्य शामिल हैं। उन्हें विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है। सबसे पहले, एक साधारण अंश के रूप में: 5/7, 1/5, 11/15, आदि, निश्चित रूप से, पूरी संख्याओं को समान रूप में भी लिखा जा सकता है: 6/2, 15/5, 0/1। - 10/2, आदि, दूसरे प्रकार का प्रतिनिधित्व एक दशमलव अंश है जिसमें एक अंतिम भिन्नात्मक भाग होता है: 0.01 और -15.001006, आदि। यह शायद सबसे आम रूपों में से एक है।
लेकिन एक तीसरा आवधिक अंश भी है।यह प्रकार बहुत आम नहीं है, लेकिन यह अभी भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 10/3 को 3.33333 ... या 3, (3) के रूप में लिखा जा सकता है। इस मामले में, विभिन्न अभ्यावेदन समान संख्या में माने जाएंगे। समान अंशों को भी कहा जाएगा, उदाहरण के लिए 3/5 और 6/10। ऐसा लगता है कि यह स्पष्ट हो गया है कि तर्कसंगत संख्याएं क्या हैं। लेकिन इस शब्द का इस्तेमाल उन्हें निरूपित करने के लिए क्यों किया जाता है?
आधुनिक रूसी में "तर्कसंगत" शब्दआम तौर पर थोड़ा अलग अर्थ होता है। यह बल्कि "उचित", "जानबूझकर" है। लेकिन गणितीय शब्द इस उधार शब्द के सीधे अर्थ के करीब हैं। लैटिन में, "अनुपात" एक "अनुपात", "अंश" या "विभाजन" है। इस प्रकार, नाम उस तर्कसंगत तत्व को दर्शाता है जो तर्कसंगत संख्याएं हैं। हालाँकि, दूसरा अर्थ
गणितीय समस्याओं को हल करते समय, हम लगातारहम खुद को जाने बिना तर्कसंगत संख्याओं के साथ सामना कर रहे हैं। और उनके पास कई दिलचस्प गुण हैं। वे सभी एक सेट की परिभाषा से या क्रियाओं से अनुसरण करते हैं।
सबसे पहले, तर्कसंगत संख्याओं में संपत्ति होती हैआदेश का संबंध। इसका मतलब है कि दो संख्याओं के बीच केवल एक ही संबंध हो सकता है - वे या तो एक दूसरे के बराबर हैं, या एक दूसरे से अधिक या कम है। अर्थात्:
या ए = बी; या ए> बी, या a <b।
इसके अलावा, यह संपत्ति भी संबंध की परिवर्तनशीलता का अर्थ है। वह है, अगर और अधिक में, में अधिक साथतब फिर और अधिक साथ... गणित की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:
(a> b) ^ (b> c) => (a> c)।
दूसरे, साथ अंकगणितीय ऑपरेशन हैंपरिमेय संख्या, अर्थात्, जोड़, घटाव, विभाजन और, ज़ाहिर है, गुणा। उसी समय, परिवर्तनों की प्रक्रिया में, कई गुणों को भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है।
जब साधारण की बात आती है, और नहींदशमलव, अंश या पूरी संख्या, उनके साथ संचालन मुश्किल हो सकता है। इसलिए, इसके अलावा और घटाव केवल तभी संभव है जब हर समान हो। यदि वे शुरू में अलग-अलग हैं, तो आपको कुछ संख्याओं द्वारा पूरे अंश के गुणन का उपयोग करके एक सामान्य खोजना चाहिए। तुलना भी सबसे अधिक बार संभव है जब यह स्थिति पूरी होती है।
साधारण अंशों का विभाजन और गुणाकाफी सरल नियमों के अनुसार निर्मित होते हैं। एक सामान्य हर में रूपांतरण अनावश्यक है। संख्यात्मक और भाजक को अलग-अलग गुणा किया जाता है, जबकि कार्रवाई करने की प्रक्रिया में, यदि संभव हो तो, अंश को कम किया जाना चाहिए और यथासंभव सरल किया जाना चाहिए।
विभाजन के संबंध में, यह क्रिया पहले की तरह थोड़े अंतर के साथ होती है। दूसरे अंश के लिए, पारस्परिक खोजें, जो है,
अंत में, तर्कसंगत में निहित एक और संपत्तिसंख्याओं को आर्किमिडीज़ स्वयंसिद्ध कहा जाता है। "सिद्धांत" नाम भी अक्सर साहित्य में पाया जाता है। यह वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट के लिए मान्य है, लेकिन हर जगह नहीं। इसलिए, यह सिद्धांत तर्कसंगत कार्यों के कुछ सेटों के लिए काम नहीं करता है। वास्तव में, इस स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि जब दो मात्राएं ए और बी होती हैं, तो आप हमेशा बी को पार करने के लिए पर्याप्त रूप से ले सकते हैं।
तो, उन लोगों के लिए जिन्होंने सीखा है या याद किया है कि यह क्या हैतर्कसंगत संख्या, यह स्पष्ट हो जाता है कि उनका उपयोग हर जगह किया जाता है: लेखांकन, अर्थशास्त्र, सांख्यिकी, भौतिकी, रसायन विज्ञान और अन्य विज्ञानों में। स्वाभाविक रूप से, गणित में भी उनका स्थान है। हमेशा यह नहीं जानते कि हम उनके साथ काम कर रहे हैं, हम लगातार तर्कसंगत संख्याओं का उपयोग करते हैं। यहां तक कि छोटे बच्चे, वस्तुओं को गिनना, टुकड़ों में एक सेब काटना या अन्य सरल क्रियाएं करना सीखते हैं, उनका सामना करते हैं। वे सचमुच हमें घेर लेते हैं। और फिर भी, कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, वे पर्याप्त नहीं हैं, विशेष रूप से, पायथागॉरियन प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके, कोई भी तर्कहीन संख्याओं की अवधारणा को पेश करने की आवश्यकता को समझ सकता है।
