डेरिवेटिव के साथ उनके कार्य अंतर हैं अंतर की मूल अवधारणाओं में से एककलन, गणितीय विश्लेषण का मुख्य खंड। आंतरिक रूप से जुड़े होने के कारण, दोनों को वैज्ञानिक और तकनीकी मानव गतिविधि की प्रक्रिया में उत्पन्न होने वाली लगभग सभी समस्याओं को हल करने में कई शताब्दियों के लिए सक्रिय रूप से उपयोग किया गया है।
पहली बार समझाया गया कि अंतर क्या है, एकडिफरेंशियल कैलकुलस के संस्थापक (आइजैक न्यूटन के साथ), प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज। उससे पहले, 17 वीं कला के गणितज्ञ। किसी भी ज्ञात फ़ंक्शन के कुछ अशुभ "अविभाज्य" भाग के बहुत ही अस्पष्ट और अस्पष्ट विचार का उपयोग किया, एक बहुत छोटे निरंतर मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन शून्य के बराबर नहीं है, जिससे फ़ंक्शन के मान बस नहीं हो सकते हैं। यहाँ से कार्यों के तर्कों के असीम रूप से छोटे वेतन वृद्धि की अवधारणा की शुरुआत करने के लिए केवल एक कदम था और बाद के डेरिवेटिव के संदर्भ में व्यक्त किए गए कार्यों के संगत वेतन वृद्धि। और यह कदम दो उपर्युक्त महान वैज्ञानिकों द्वारा लगभग एक साथ उठाया गया था।
तत्काल संबोधित करने की आवश्यकता के आधार परयांत्रिकी की व्यावहारिक समस्याएं, जो तेजी से विकासशील उद्योग और प्रौद्योगिकी विज्ञान के लिए सामने आईं, न्यूटन और लाइबनिज ने कार्यों के परिवर्तन की दर (मुख्य रूप से एक ज्ञात प्रक्षेप पथ के साथ शरीर की गति के यांत्रिक गति के संबंध में) की खोज के लिए सामान्य तरीके बनाए, जो एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और अंतर के रूप में अवधारणाओं की शुरूआत करने के लिए नेतृत्व किया, और व्युत्क्रम समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म भी पाया, कैसे एक ज्ञात (चर) गति से यात्रा की गई मार्ग को खोजने के लिए, जिसके कारण अवधारणा की अवधारणा का उदय हुआ एक अभिन्न।
लीबनिज़ और न्यूटन के लेखन में, पहली बार दिखाई दिएयह विचार कि अंतर तर्कों की वृद्धि के आनुपातिक हैं theх, कार्यों के वेतन वृद्धि के मुख्य भाग ,у, जिसे बाद के मूल्यों की गणना करने के लिए सफलतापूर्वक लागू किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, उन्हें पता चला कि एक फ़ंक्शन का वेतन वृद्धि किसी भी बिंदु पर हो सकता है (इसकी परिभाषा के डोमेन के भीतर) इसके व्युत्पन्न के संदर्भ में Δу = y "(x) Δх + αΔх के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां α = Δх शेष है; →х → 0 के रूप में शून्य पर चलना itselfx की तुलना में बहुत तेज है।
मतानलिसिस के संस्थापकों के अनुसार,अंतर किसी भी कार्य के वेतन वृद्धि के लिए अभिव्यक्तियों में पहली शर्तें हैं। फिर भी अनुक्रम की सीमा की स्पष्ट रूप से तैयार की गई अवधारणा नहीं है, वे सहज रूप से समझ गए कि अंतर का मान derх → 0 - Δу / Δх → y "(x) के रूप में कार्य के व्युत्पन्न के लिए जाता है।
न्यूटन के विपरीत, जो मुख्य रूप से थाभौतिक विज्ञानी, और भौतिक समस्याओं के अध्ययन के लिए गणितीय उपकरण को एक सहायक उपकरण के रूप में मानते हैं, लिबनीज ने इस बहुत टूलकिट पर ध्यान दिया, जिसमें गणितीय मात्रा के दृश्य और समझने योग्य पदनाम शामिल हैं। यह वह था जिसने फ़ंक्शन डाई = वाई "(एक्स) डीएक्स, तर्क डीएक्स और फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अनुपात के लिए आम तौर पर स्वीकार किए जाने वाले नोटेशन को उनके अनुपात y" (x) = डाई / डीएक्स के रूप में प्रस्तावित किया था।
आधुनिक गणित के दृष्टिकोण से एक अंतर क्या है? यह चर वृद्धि की अवधारणा से निकटता से संबंधित है। यदि चर y मान पहले y = y लेता है1और फिर y = y2, तब अंतर y2 ─ य1 y का वेतन वृद्धि कहा जाता है।
यदि एक मनमाना फ़ंक्शन y = f (x) का मानयह =у = A х + α के रूप में प्रस्तुत करना संभव है, जहां A किसी दिए गए x के लिए =х, यानी A = const पर निर्भर नहीं करता है, और α पर α + 0 शब्द यह Δх के लिए और भी तेज हो जाता है, फिर पहला ("मुख्य") शब्द andх के आनुपातिक है, और अंतर = निरूपित y = f (x) के लिए है डाई या डीएफ (एक्स) ("डी य्रेक", "एक्स से डी डी एफआर") पढ़ता है। इसलिए, अंतर कार्यों के वेतन वृद्धि के "मुख्य" घटक हैं, .х के संबंध में रैखिक।
बता दें कि s = f (t) एक सीधी रेखा की दूरी हैप्रारंभिक स्थिति से एक चलती सामग्री बिंदु (जिस तरह से समय व्यतीत होता है)। वेतन वृद्धि समय अंतराल के बाद बिंदु का मार्ग है, और अंतर ds = f "(t) (t पथ है कि बिंदु एक ही समय में यात्रा किया होगा अगर यह गति f रखा है" (टी ) समय टी तक पहुँच गया ... एक असीम रूप से छोटे ,t के लिए, काल्पनिक मार्ग ds एक अनंत मान द्वारा वास्तविक froms से भिन्न होता है, जो .t के सापेक्ष उच्च क्रम होता है। यदि समय टी में गति शून्य नहीं है, तो डीएस बिंदु के छोटे विस्थापन के लिए अनुमानित मूल्य देता है।
मान लें कि L, y = f (x) का ग्राफ है।फिर Q х = MQ, Δу = QM "(नीचे आंकड़ा देखें)। स्पर्श रेखा एमएन खंड को दो भागों, क्यूएन और एनएम में विभाजित करती है"। पहला Δх के समानुपाती है और QN = MQ g tg (कोण QMN) = xх f "(x) के बराबर है, अर्थात QN अंतर डाई है।
दूसरा भाग NM "0х। डाई को अंतर देता है, 0х → 0 परलंबाई NM "तर्क की वृद्धि से भी तेजी से घट जाती है, अर्थात, इसकी लघुता का क्रम thatx की तुलना में अधिक है। विचाराधीन मामले में, f" (x) (0 के लिए (स्पर्शरेखा OX के समानांतर नहीं है। ), सेगमेंट QM "और QN समतुल्य हैं। दूसरे शब्दों में, NM" कुल वृद्धि =у = QM "की तुलना में तेज़ी से घटता है (इसकी लघुता का क्रम अधिक है)। यह आंकड़ा में देखा जा सकता है (जैसा कि" M "दृष्टिकोण के रूप में है।) , NM सेगमेंट "QM सेगमेंट का एक छोटा प्रतिशत बनाता है")।
तो, रेखीय रूप से, एक मनमाना कार्य का अंतर इसके स्पर्शरेखा के समन्वय की वृद्धि के बराबर है।
फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि के लिए अभिव्यक्ति के पहले शब्द में गुणांक ए इसके व्युत्पन्न f "(x) के मूल्य के बराबर है। इस प्रकार, निम्नलिखित संबंध रखती है - dy = f" (x) theх, या df (x)। ) = f ”(x) fх।
यह ज्ञात है कि एक स्वतंत्र तर्क की वृद्धि इसके अंतर =х = dx के बराबर है। तदनुसार, आप लिख सकते हैं: f "(x) dx = dy।
ढूँढना (कभी-कभी कहा, "हल करना") अंतर को उसी नियम के अनुसार किया जाता है जो डेरिवेटिव के लिए होता है। उनकी एक सूची नीचे दी गई है।
कुछ स्पष्टीकरण यहां दिए गए हैं।X को एक तर्क के रूप में मानने पर अंतर के मान f "(x) theх का प्रतिनिधित्व संभव है। लेकिन फ़ंक्शन जटिल हो सकता है, जिसमें x कुछ तर्क टी का कार्य हो सकता है। फिर अभिव्यक्ति द्वारा अंतर का प्रतिनिधित्व। f ”(x) isх एक नियम के रूप में, असंभव है; एक रैखिक निर्भरता x = at + b के मामले को छोड़कर।
सूत्र के अनुसार f "(x) dx = डाई, फिर एक स्वतंत्र तर्क x (तब dx = inx) के मामले में, और t पर x के पैरामीट्रिक निर्भरता के मामले में, यह एक अंतर का प्रतिनिधित्व करता है।
उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 2 x representsx y = x के लिए दर्शाती है2 इसका अंतर जब x एक तर्क है। हमने अब x = t लगा दिया2 और हम टी को एक तर्क के रूप में मानेंगे। फिर y = x2 = टी4.
इसके बाद (t + Δt) है2 = टी2 + 2t +t + .t2... इसलिए, Δх = 2tΔt + .t2... मीन्स: 2xΔx = 2t2 (2t +t + .t2 )।
यह अभिव्यक्ति Δt के समानुपाती नहीं है और इसलिए अब 2x isx एक अंतर नहीं है। इसे समीकरण y = x से पाया जा सकता है2 = टी4... यह डाई = 4 टी के बराबर निकला3Δt।
यदि हम एक्सएक्सएक्सएक्स एक्सएक्सएक्स लेते हैं, तो यह अंतर y = x का प्रतिनिधित्व करता है2 किसी भी तर्क के लिए टी। दरअसल, एक्स = टी के लिए2 हमें dx = 2tΔt मिलता है।
तो 2xdx = 2t22t 2t = 4t3Δt, अर्थात्, दो अलग-अलग चर के संदर्भ में लिखे गए अंतरों के लिए संयोग।
यदि f "(x), 0, तो dyу और डाई समतुल्य हैं (जब (х → 0), जब f" (x) = 0 (जिसका अर्थ डाई = 0) है, वे समतुल्य नहीं हैं।
उदाहरण के लिए, यदि y = x2, तो thenу = (x + Δх)2 ─ x2= 2x =x + .x2, और डाई = 2x andx। यदि x = 3, तो हमारे पास =y = 6 +x + thenx है2 और डाई = 6Δх, जो .х के कारण बराबर हैं2→ 0, х = 0 पर मान ,у = .х2 और डाई = 0 समकक्ष नहीं हैं।
यह तथ्य, एक सरल संरचना के साथअंतर (यानी, )x के संबंध में रैखिकता), अक्सर अनुमानित गणना में उपयोग किया जाता है, इस धारणा के तहत कि छोटे .х के लिए डाई। किसी फ़ंक्शन के अंतर को खोजना आमतौर पर वेतन वृद्धि के सटीक मूल्य की गणना करने से आसान होता है।
उदाहरण के लिए, हमारे पास किनारे x = 10.00 सेमी के साथ एक धातु घन है। जब गरम किया जाता है, तो किनारे cmх - 0.001 सेमी तक लंबा हो जाता है। घन का आयतन V कितना बढ़ गया है? हमारे पास V = x है2ताकि dV = 3x2Δх = 3। 102∙ 0/01 = 3 (सेमी3)। वॉल्यूम isV में वृद्धि अंतर dV के बराबर है, ताकि ΔV = 3 सेमी3... एक पूरी गणना =V = 10.01 देगी3 ─ १०3 = 3.003001। लेकिन इस परिणाम में, पहले को छोड़कर सभी संख्या अविश्वसनीय हैं; इसलिए, सभी समान, आपको इसे 3 सेमी तक गोल करने की आवश्यकता है3.
जाहिर है, यह दृष्टिकोण केवल तभी उपयोगी होता है जब पेश की गई त्रुटि की भयावहता का अनुमान लगाना संभव हो।
आइए फ़ंक्शन y = x के अंतर को खोजने का प्रयास करें3एक व्युत्पन्न खोजने के बिना। आइए हम तर्क को एक वृद्धि दें और परिभाषित करें।
Δу = (Δх + x)3 ─ x3 = 3x2Δx + (3xΔx)2 + Δx3)।
यहाँ गुणांक A = 3x है2 ,x पर निर्भर नहीं करता है, ताकि पहला शब्द whilex के समानुपाती हो, जबकि दूसरा शब्द 3xΔx हो2 + Δx3 incх → 0 तर्क की वृद्धि की तुलना में तेजी से घटता है। तो एक डिक 3x2Δх अंतर y = x है3:
डाई = 3x2Δх = 3x2dx या d (x)3) = 3x2dx।
इसके अलावा, डी (एक्स3) / डीएक्स = 3x2.
चलिए अब इसके व्युत्पन्न के संदर्भ में y = 1 / x फ़ंक्शन का डाई पाते हैं। फिर d (1 / x) / dx = /1 / x2... इसलिए, डाई =, /х / х2.
मूल बीजगणितीय कार्यों के अंतर नीचे दिए गए हैं।
फ़ंक्शन एफ (एक्स), साथ ही एक्स = ए के लिए इसके व्युत्पन्न एफ "(एक्स) की गणना करना अक्सर मुश्किल नहीं होता है, लेकिन बिंदु एक्स = आसपास ए के आसपास के क्षेत्र में समान करना आसान नहीं है। लगभग अभिव्यक्ति बचाव के लिए आता है
f (a + (х) "f" (a) +х + f (a)।
यह अपने अवतरण f "(a) .х के माध्यम से छोटे वेतन वृद्धि पर फ़ंक्शन का अनुमानित मान देता है।
इसलिए, यह सूत्र अनुमानित हैइस खंड के प्रारंभिक बिंदु (x = a) और उसी प्रारंभिक बिंदु पर अंतर के योग के रूप में लंबाई के एक निश्चित खंड के अंतिम बिंदु पर फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति। फ़ंक्शन के मूल्य को निर्धारित करने की इस पद्धति की त्रुटि को नीचे दिए गए आंकड़े में चित्रित किया गया है।
हालांकि, x = a + alsoх के लिए फ़ंक्शन के मूल्य के लिए सटीक अभिव्यक्ति भी ज्ञात है, परिमित वेतन वृद्धि के सूत्र द्वारा (या, दूसरे शब्दों में, Lagrange सूत्र द्वारा)
f (a + (х) "f" (Δ) +х + f (a),
जहाँ बिंदु x = a + a x = a से खंड पर स्थित हैx = a + Δх तक, हालांकि इसकी सटीक स्थिति अज्ञात है। सटीक सूत्र आपको अनुमानित सूत्र की त्रुटि का अनुमान लगाने की अनुमति देता है। अगर हम Lagrange सूत्र में we = /x / 2 डालते हैं, तो हालांकि यह सटीक होना बंद कर देता है, यह आमतौर पर अंतर के संदर्भ में मूल अभिव्यक्ति की तुलना में बहुत बेहतर सन्निकटन देता है।
मापने के उपकरण सिद्धांत रूप में हैं, औरमाप डेटा में संबंधित त्रुटियों का परिचय। उन्हें पूर्ण त्रुटि को सीमित करने की विशेषता है, या, संक्षेप में, सीमित त्रुटि - एक सकारात्मक संख्या, स्पष्ट रूप से इस त्रुटि को निरपेक्ष मान से अधिक (या, चरम मामलों में, इसके बराबर)। मापे गए मान के निरपेक्ष मान द्वारा सीमित त्रुटि को उसके विभाजन का भागफल कहा जाता है।
सटीक सूत्र y = f (x) का उपयोग करने देंफ़ंक्शन y की गणना, लेकिन x का मान माप का परिणाम है और इसलिए y में त्रुटि का परिचय देता है। फिर, फ़ंक्शन y के सीमित पूर्ण त्रुटि को खोजने के लिए, सूत्र का उपयोग करें
"
जहां │Δх। तर्क की सीमित त्रुटि है। तब से मान को गोल किया जाना चाहिए अंतर की गणना के साथ वेतन वृद्धि की गणना करना ही गलत है।
