Функция и исследование ее особенностей занимает אחד הפרקים המרכזיים במתמטיקה המודרנית. המרכיב העיקרי של כל פונקציה הוא גרפיקה המתארת לא רק את המאפיינים שלה, אלא גם את הפרמטרים של נגזרת של הפונקציה. בואו להבין את הנושא הקשה הזה. אז, איך הכי טוב לחפש את הנקודות של פונקציות מקסימום מינימום?
כל משתנה שתלוי בדרך כלשהי בערכים של כמות אחרת יכול להיקרא פונקציה. לדוגמה, הפונקציה f (x2) הוא ריבועי וקובע את הערכים לכל הערכה x. בואו נגיד ש- x = 9, אז ערך הפונקציה שלנו יהיה 92= 81.
הפונקציות מופיעות בצורות רבות ושונות:לוגי, וקטורי, לוגריתמי, טריגונומטרי, מספרי ואחרים. המחקר שלהם נערך על ידי מוחות מצטיינים כמו לקרוס, לגראנז ', לייבניץ וברנולי. עבודותיהם משמשות מעוז בשיטות מודרניות ללימוד פונקציות. לפני שתמצאו את נקודות המינימום, חשוב מאוד להבין את עצם המשמעות של הפונקציה ואת הנגזרת שלה.
כל הפונקציות תלויים בהןמשתנים, מה שאומר שהם יכולים לשנות את ערכם בכל עת. בתרשים, זה יתואר כעקומה, אשר יורדת ואז תעלה לאורך המסדרון (זו כל מערך המספרים "y" לאורך האנכי של הגרף). אז ההגדרה של נקודות המקסימום והמינימום של פונקציה קשורה בדיוק ל"תנודות "אלה. נסביר מה הקשר הזה.
הנגזרת של כל פונקציה מתווהעל מנת ללמוד את המאפיינים העיקריים שלה ולחשב כמה מהר הפונקציה משתנה (כלומר משנה את ערכה בהתאם למשתנה "x"). ברגע בו הפונקציה תגדל, גם הגרף של הנגזרת שלה יגדל, אך בכל שנייה הפונקציה עשויה להתחיל לרדת, ואז הגרף של הנגזרת יקטן. הנקודות בהן הנגזרת עוברת מסימן המינוס לפלס נקראות נקודות מינימום. על מנת לדעת כיצד למצוא את נקודות המינימום, יש להבין טוב יותר את מושג הנגזרת.
הגדרה וחישוב הנגזרת של פונקציהמרמז על כמה מושגים מחשבון דיפרנציאלי. באופן כללי, עצם ההגדרה של הנגזרת יכולה לבוא לידי ביטוי באופן הבא: הכמות היא שמראה את קצב השינוי של הפונקציה.
הדרך המתמטית להגדיר זאת עבור רביםתלמידים נראים מסובכים, אך במציאות הכל הרבה יותר פשוט. אתה רק צריך לעקוב אחר התוכנית הסטנדרטית למציאת הנגזרת של כל פונקציה. להלן מתואר כיצד ניתן למצוא את נקודת המינימום של פונקציה מבלי להחיל את כללי הבידול ומבלי לשנן את טבלת הנגזרים.
בתכנית הלימודים בבית הספר של המתמטיקה זה אפשרימציאת נקודת המינימום של הפונקציה בשתי דרכים. ניתחנו כבר את השיטה הראשונה באמצעות הגרף, אך כיצד לקבוע את הערך המספרי של הנגזרת? לשם כך יהיה עליכם ללמוד מספר נוסחאות המתארות את מאפייני הנגזרת ועוזרות להמיר משתנים כמו "x" למספרים. השיטה הבאה היא אוניברסלית, כך שניתן להחיל אותה כמעט על כל מיני פונקציות (הן גיאומטריות והן לוגריתמיות).
המרכיב הבסיסי ביותר בלימוד הפונקציה והנגזרת שלו הינה ידיעה על כללי הבידול. רק בעזרתם ניתן להפוך ביטויים מגושמים ופונקציות מורכבות גדולות. בואו נסתכל עליהם, יש לא מעט כאלה, אבל כולם פשוטים מאוד בגלל התכונות הטבעיות של הכוח וגם מהפונקציות הלוגריתמיות.
כבר הבנו כיצד למצוא את נקודות המינימום,עם זאת, יש גם מושג של נקודות מרביות של פונקציה. אם המינימום מציין את הנקודות בהן הפונקציה עוברת מסימן המינוס לפלוס, אזי הנקודות המקסימאליות הן הנקודות על ציר הבסיס בהן נגזרת הפונקציה משתנה מפלוס להיפך - מינוס.
ניתן למצוא את הנקודות המקסימליות לפי השיטה שתוארה לעיל, רק שיש לקחת בחשבון שהם מציינים את אותם חלקים בהם הפונקציה מתחילה לרדת, כלומר הנגזרת תהיה פחותה מאפס.
במתמטיקה נהוג להכליל את שני המושגים,החלפתם בביטוי "נקודות קיצוניות". כאשר המשימה מבקשת לקבוע נקודות אלה, המשמעות היא שיש לחשב את הנגזרת של פונקציה זו ולמצוא את הנקודות המינימליות והמרביות.
