線形方程式系（SLAE）を解くための単純な反復法

メソッドとも呼ばれる単純な反復法逐次近似は、段階的な改良によって未知の量の値を見つけるための数学的アルゴリズムです。この方法の本質は、その名前が示すように、最初の近似から次のものを徐々に表現することで、ますます洗練された結果が得られることです。この方法は、特定の関数の変数の値を見つけるため、および線形と非線形の両方の連立方程式を解くときに使用されます。

SLAEを解くときにこのメソッドがどのように実装されるかを考えてみましょう。単純な反復法には、次のアルゴリズムがあります。

1。元の行列の収束条件が満たされていることの検証。収束定理：システムの初期行列が対角優位性を持っている場合（つまり、各行で、主対角の要素は、モジュロの二次対角の要素の合計よりもモジュラスが大きくなければなりません）、単純な方法反復は収束します。

2.2。元のシステムの行列は、常に対角優位であるとは限りません。このような場合、システムを変換することができます。収束条件を満たす方程式はそのまま残され、満たさない方程式では線形結合が形成されます。目的の結果が得られるまで、方程式を乗算、減算、加算します。

結果として得られる主対角線上のシステムに不便な係数がある場合、次の形式の項_私* バツ_私、 その符号は対角要素の符号と一致する必要があります。

3.結果のシステムの通常の形式への変換：

バツ^-=β^-+α* x^-

これは、たとえば次のように、さまざまな方法で実行できます。最初の方程式から、xを表現します。₁ 他の未知数を通して、2番目から-x₂、3番目から-x₃ 等この場合、次の式を使用します。

α_ij=-（a_ij / a_ii）

_私= b_私/ a_ii
結果として得られる正規形のシステムが収束条件を満たすことを再度確認する必要があります。

∑（j = 1）|α_ij|≤1、i = 1,2、... n

4.実際、逐次近似の方法そのものを適用し始めます。

バツ^（0）は初期近似であり、それを介してxを表します。^（1）、次にxを介して^（1） xを表現する^（2）..。行列形式の一般式は次のようになります。

バツ^（n）=β^-+α* x^（n-1）

必要な精度に達するまで計算します。

最大| x_私（k）-x_私（k + 1）≤ε

それでは、単純な反復法を実践してみましょう。例：
SLAEを解く：

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4、精度ε= 10^-3

対角要素がモジュラスで優勢であるかどうかを見てみましょう。

3番目の方程式のみが収束条件を満たすことがわかります。最初と2番目を変換し、2番目を最初の方程式に追加します。

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

3番目から1番目を引きます：

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

元のシステムを同等のシステムに変換しました。

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

それでは、システムを通常の状態に戻しましょう。

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

反復プロセスの収束を確認します。

0.0789 + 0.3158 =0.3947≤1
0.6429 + 0.2857 =0.9286≤1
0.383+ 0.5319 =0.9149≤1、つまり条件が満たされています。

0,3947
初期近似x^（0） = 0.4762
0,8511

これらの値を正規形の方程式に代入すると、次の値が得られます：

0,08835
バツ^（1）= 0.486793
0,446639

新しい値を代入すると、次のようになります。

0,215243
バツ^（2）= 0.405396
0,558336

与えられた条件を満たす値に近づくまで計算を続けます。

0,18813

バツ^（7）= 0.441091

0,544319

0,188002

バツ^（8） = 0.44164

0,544428

得られた結果の正しさを確認しましょう：

4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2.0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977

見つかった値を元の方程式に代入することによって得られた結果は、方程式の条件を完全に満たしています。

ご覧のとおり、単純な反復法ではかなり正確な結果が得られますが、この方程式を解くには多くの時間と面倒な計算を費やす必要がありました。