Dubla integrală. Sarcini. Proprietățile

Probleme care duc la conceptul de „dublă integrală”.

1. Lăsați un material planplacă, în fiecare punct al cărui densitate este cunoscută. Trebuie să găsim masa acestei plăci. Deoarece această placă are dimensiuni clare, poate fi închisă într-un dreptunghi. Densitatea plăcii poate fi de asemenea înțeleasă astfel: în acele puncte ale dreptunghiului care nu aparțin plăcii, vom presupune că densitatea este zero. Să setăm o partiție uniformă în același număr de particule. Astfel, forma dată va fi împărțită în dreptunghiuri elementare. Luați în considerare unul dintre aceste dreptunghiuri. Selectați orice punct al acestui dreptunghi. Datorită dimensiunii reduse a unui astfel de dreptunghi, vom presupune că densitatea din fiecare punct al acestui dreptunghi este o valoare constantă. Apoi, masa unei astfel de particule dreptunghiulare va fi determinată ca înmulțirea densității în acest punct cu aria dreptunghiului. Zona, după cum știți, este înmulțirea lungimii unui dreptunghi cu lățimea sa. Și pe planul de coordonate, aceasta este o schimbare cu un anumit pas. Apoi, masa întregii plăci va fi suma maselor unor astfel de dreptunghiuri. Dacă mergeți la graniță în acest raport, atunci puteți obține raportul exact.
2. Să definim un corp spațial, care este limitatoriginea și unele funcții. Trebuie să găsiți volumul corpului specificat. Ca și în cazul anterior, împărțiți zona în dreptunghiuri. Vom presupune că în punctele care nu aparțin regiunii, funcția va fi egală cu 0. Luați în considerare una dintre partițiile dreptunghiulare. Desenați planuri prin laturile acestui dreptunghi care sunt perpendiculare pe abscisă și axele ordonate. Obținem un paralelipiped, care este delimitat de jos de un plan relativ la axa aplicată și de sus de funcția specificată în enunțul problemei. Selectați un punct din mijlocul dreptunghiului. Datorită dimensiunii reduse a acestui dreptunghi, putem presupune că funcția din acest dreptunghi are o valoare constantă, apoi se poate calcula volumul dreptunghiului. Și volumul figurii va fi egal cu sumele tuturor volumelor unor astfel de dreptunghiuri. Pentru a obține valoarea exactă, trebuie să mergeți la graniță.

După cum se poate vedea din sarcini, în fiecare exemplu ajungem la concluzia că sarcini diferite conduc la luarea în considerare a sumelor duble de aceeași formă.

Proprietăți duble integrale.

Să stabilim sarcina.Să se dea o funcție de două variabile într-un domeniu închis, iar funcția dată este continuă. Deoarece aria este limitată, o puteți plasa în orice dreptunghi care conține complet proprietățile unui punct dintr-o zonă dată. Împărțiți dreptunghiul în părți egale. Să numim diametrul partiției cea mai mare diagonală a dreptunghiurilor rezultate. Să selectăm acum un punct în limitele unui astfel de dreptunghi. Dacă găsiți valoarea în acest moment pentru a aduna suma, atunci o astfel de sumă va fi numită integral pentru funcția din zona dată. Să găsim limita unei astfel de sume integrale, în condițiile în care diametrul împărțirii urmează la 0 și numărul de dreptunghiuri - la infinit. Dacă o astfel de graniță există și nu depinde de metoda de împărțire a zonei în dreptunghiuri și de alegerea unui punct, atunci se numește integrală dublă.

Conținutul geometric al integralei duble: integralul dublu este egal numeric cu volumul corpului, care a fost descris în problema 2.

Cunoscând integralul dublu (definiție), puteți seta următoarele proprietăți:

1. Constanta poate fi scoasă din semnul integral.
2. Integrala sumei (diferenței) este egală cu suma (diferența) integralelor.
3. Funcția mai mică va fi cea a cărei integrală dublă este mai mică.
4. Modulul poate fi introdus sub semnul integral dublu.