Primul semn al egalității triunghiurilor. Al doilea și al treilea semn de egalitate a triunghiurilor

Printre numărul mare de poligoane,care sunt în esență o linie întreruptă închisă și neintersectată, un triunghi este figura cu cel mai mic număr de unghiuri. Cu alte cuvinte, acesta este cel mai simplu poligon. Dar, în ciuda simplității sale, această figură este plină de multe mistere și descoperiri interesante, care sunt acoperite de o secțiune specială de matematică - geometrie. Această disciplină în școli începe să fie predată din clasa a șaptea, iar subiectului „Triunghi” i se acordă o atenție deosebită aici. Copiii nu numai că învață regulile despre figură în sine, ci și le compară, studiind semnele 1, 2 și 3 ale egalității triunghiurilor.

Prima cunoaștere

Una dintre primele reguli pe care le învațășcolari, sună cam așa: suma valorilor tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. Pentru a confirma acest lucru, este suficient să măsurați fiecare dintre vârfuri cu ajutorul unui raportor și să adăugați toate valorile rezultate. Pe baza acestui lucru, cu două valori cunoscute, este ușor de determinat a treia. De exemplu: Într-un triunghi, unul dintre unghiuri are 70° și celălalt 85°, care este valoarea celui de-al treilea unghi?

180 - 85 - 70 = 25.

Răspuns: 25°.

Sarcinile pot fi și mai complexe dacă este indicată o singură valoare a unghiului, iar a doua valoare este spusă doar de cât de mult sau de câte ori este mai mare sau mai mică.

Într-un triunghi, pentru a determina una sau alta dintre caracteristicile sale, pot fi trase linii speciale, fiecare având propriul nume:

• înălțime - o linie perpendiculară trasată din partea de sus spre partea opusă;
• toate cele trei înălțimi desenate simultan se intersectează în centrul figurii, formând ortocentrul, care, în funcție de tipul de triunghi, poate fi atât în ​​interior, cât și în exterior;
• mediană - o linie care leagă partea de sus cu mijlocul părții opuse;
• intersecția medianelor este punctul de greutate al acesteia, situat în interiorul figurii;
• bisectoare - o linie care trece de la vârf la punctul de intersecție cu latura opusă, punctul de intersecție a trei bisectoare este centrul cercului înscris.

Adevăruri simple despre triunghiuri

Triunghiurile, ca, de fapt, toate formele, au propriile lor caracteristici și proprietăți. După cum am menționat deja, această figură este cel mai simplu poligon, dar cu propriile sale caracteristici:

• opus celei mai lungi laturi există întotdeauna un unghi cu o valoare mai mare, și invers;
• unghiuri egale se află pe laturi egale, un exemplu în acest sens este un triunghi isoscel;
• suma unghiurilor interioare este întotdeauna 180°, ceea ce a fost deja demonstrat cu un exemplu;
• când o latură a unui triunghi este extinsă dincolo de limitele sale, se formează un unghi exterior, care va fi întotdeauna egal cu suma unghiurilor care nu îi sunt adiacente;
• oricare parte este întotdeauna mai mică decât suma celorlalte două laturi, dar mai mare decât diferența lor.

Tipuri de triunghiuri

Următoarea etapă de cunoaștere este de a determina grupul căruia îi aparține triunghiul prezentat. Apartenența la o anumită specie depinde de mărimea unghiurilor triunghiului.

• Isoscel - având două laturi egalecare sunt numite laterale, a treia în acest caz acționează ca bază a figurii. Unghiurile de la baza unui astfel de triunghi sunt aceleași, iar mediana trasă din vârf este bisectoarea și înălțimea.
• Un triunghi regulat sau echilateral este unul în care toate laturile sale sunt egale.
• Dreptunghiular: unul dintre unghiurile sale este de 90°. În acest caz, latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză, iar celelalte două sunt catetele.
• Triunghi acut - toate unghiurile sunt mai mici de 90°.
• Obtuz - Unul dintre unghiuri este mai mare de 90°.

Egalitatea și asemănarea triunghiurilor

În procesul de învățare, nu numai luați în considerareo singură figură, dar și comparați două triunghiuri. Și acest subiect aparent simplu are o mulțime de reguli și teoreme prin care poți demonstra că figurile în cauză sunt triunghiuri egale. Triunghiurile sunt egale dacă laturile și unghiurile lor corespunzătoare sunt aceleași. Cu această egalitate, dacă puneți aceste două figuri una peste alta, toate liniile lor vor converge. De asemenea, cifrele pot fi similare, în special, acest lucru se aplică figurilor aproape identice, care diferă doar în dimensiune. Pentru a trage o astfel de concluzie despre triunghiurile prezentate, trebuie îndeplinită una dintre următoarele condiții:

• două unghiuri ale unei figuri sunt egale cu două unghiuri ale alteia;
• două laturi ale uneia sunt proporționale cu două laturi ale celui de-al doilea triunghi, iar unghiurile formate de laturi sunt egale;
• cele trei laturi ale celei de-a doua figuri sunt aceleasi cu cele ale primei.

Desigur, pentru egalitate incontestabilă, ceea ce nu estenu va ridica nici cea mai mică îndoială, este necesar să aveți aceleași valori pentru toate elementele ambelor figuri, cu toate acestea, folosind teoreme, sarcina este mult simplificată și sunt permise doar câteva condiții pentru a demonstra egalitatea. de triunghiuri.

Primul semn al egalității triunghiurilor

Sarcinile pe această temă sunt rezolvate pe bazadovada teoremei, care sună astfel: „Dacă două laturi ale unui triunghi și unghiul pe care îl formează sunt egale cu două laturi și un unghi al altui triunghi, atunci figurile sunt de asemenea egale între ele”.

Cum se face demonstrarea teoremei despre primasemnul triunghiurilor egale? Toată lumea știe că două segmente sunt egale dacă au aceeași lungime, sau cercurile sunt egale dacă au aceeași rază. Și în cazul triunghiurilor, există mai multe semne, având care, putem presupune că figurile sunt identice, ceea ce este foarte convenabil de utilizat la rezolvarea diferitelor probleme geometrice.

Cum sună teorema „Primul semn de egalitate a triunghiurilor” este descrisă mai sus, dar iată dovada acesteia:

• Să spunem triunghiuri ABC și A₁În₁C₁ au aceleasi laturi AB si A₁În₁ și, respectiv, BC și B₁C₁, iar unghiurile care sunt formate de aceste laturi au aceeași valoare, adică sunt egale. Apoi, puneți △ ABC pe △ A₁În₁C_1, obținem coincidența tuturor liniilor și vârfurilor. De aici rezultă că aceste triunghiuri sunt absolut identice, ceea ce înseamnă că sunt egale între ele.

Teorema „Primul criteriu pentru egalitatea triunghiurilor” se mai numește „După două laturi și un unghi”. De fapt, aceasta este esența sa.

Teorema a doua caracteristică

Cel de-al doilea criteriu de egalitate este demonstrat în mod similar,dovada se bazează pe faptul că atunci când figurile sunt suprapuse una peste alta, acestea coincid complet în toate vârfurile și laturile. Și teorema sună așa: „Dacă o latură și două unghiuri la formarea cărora participă corespund laturii și două unghiuri ale celui de-al doilea triunghi, atunci aceste cifre sunt identice, adică egale”.

Al treilea semn și dovadă

Dacă atât 2 cât și 1 semn de egalitatetriunghiurile au atins atât laturile, cât și colțurile figurii, apoi al treilea se aplică numai laturilor. Deci, teorema are următoarea formulare: „Dacă toate laturile unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale celui de-al doilea triunghi, atunci figurile sunt identice”.

Pentru a demonstra această teoremă, trebuie să intrăm în mai multe detalii.aprofundați în însăși definiția egalității. De fapt, ce înseamnă expresia „triunghiurile sunt egale”? Identitatea spune că dacă suprapuneți o figură peste alta, toate elementele lor vor coincide, acest lucru se poate întâmpla doar atunci când laturile și unghiurile lor sunt egale. În același timp, unghiul opus uneia dintre laturi, care este același cu cel al celuilalt triunghi, va fi egal cu vârful corespunzător al celei de-a doua figuri. Trebuie remarcat că în acest moment demonstrația poate fi tradusă cu ușurință la 1 criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Dacă nu se respectă o astfel de secvență, egalitatea triunghiurilor este pur și simplu imposibilă, cu excepția cazurilor în care figura este o imagine în oglindă a primei.

triunghiuri dreptunghiulare

În structura unor astfel de triunghiuri există întotdeauna vârfuri cu un unghi de 90°. Prin urmare, următoarele afirmații sunt adevărate:

• triunghiurile cu unghi drept sunt egale dacă catetele unuia sunt identice cu catetele celui de-al doilea;
• figurile sunt egale dacă ipotenuzele lor și unul dintre catete sunt egale;
• astfel de triunghiuri sunt congruente dacă catetele lor și unghiul ascuțit sunt identice.

Această caracteristică se aplică dreptunghiularetriunghiuri. Pentru a demonstra teorema, figurile sunt aplicate una pe cealaltă, drept urmare triunghiurile sunt pliate cu catete astfel încât din două drepte să iasă un unghi dezvoltat cu laturile CA și CA.₁.

Aplicare practică

În cele mai multe cazuri, în practică,primul semn al egalității triunghiurilor. De fapt, un subiect atât de aparent simplu de nota 7 la geometrie și planimetrie este folosit și pentru a calcula lungimea, de exemplu, a unui cablu telefonic fără a măsura terenul pe care va trece. Folosind această teoremă, este ușor să faci calculele necesare pentru a determina lungimea unei insule în mijlocul unui râu fără a înota peste ea. Fie întăriți gardul prin plasarea unei scânduri în deschidere, astfel încât să o împartă în două triunghiuri egale, fie calculați elementele complexe de lucru în tâmplărie, fie când calculați sistemul de ferme pentru acoperiș în timpul construcției.

Primul semn al egalității triunghiurilor este utilizat pe scară largă în viața „adultă” reală. Deși în anii de școală, acest subiect pare plictisitor și complet inutil pentru mulți.