Извод неке функције ф (к) у одређеномтачка к0 се назива границом односа прираста функције према прирасту аргумента, под условом да к следи 0, а граница постоји. Дериват се обично означава простим бројем, понекад тачком или кроз диференцијал. Дериват преко границе често доводи у заблуду, јер се такав приказ ретко користи.
Функција која има извод у одређеномтачка к0, уобичајено је да се у таквој тачки назива диференцибилним. Претпоставимо да је Д1 скуп тачака у којима се функција ф диференцира. Додељујући сваком броју број к који припада Д ф '(к), добијамо функцију са површином записа Д1. Ова функција је деривација и = ф (к). Означава се овако: ф '(к).
Осим тога, дериват се широко користи уфизике и технологије. Погледајмо најједноставнији пример. Материјална тачка се креће дуж координате равно, и дат је закон кретања, односно к координата ове тачке је позната функција к (т). Током временског интервала од т0 до т0 + т, померање тачке је к (т0 + т) -к (т0) = к, а њена просечна брзина в (т) је к / т.
Понекад је природа кретања представљена на такав начин да се приза кратке временске периоде просечна брзина се не мења, што значи да се кретање са већим степеном тачности сматра уједначеним. Или вредност просечне брзине, ако т0 следи неку апсолутно тачну вредност, која се назива тренутном брзином в (т0) ове тачке у одређеном тренутку времена т0. Верује се да је тренутна брзина в (т) позната за сваку диференцирану функцију к (т), при чему ће в (т) бити једнако к ’(т). Једноставно речено, брзина је временски дериват координате.
Тренутна брзина има и позитивне инегативне вредности, као и вредност 0. Ако је позитивна у неком временском интервалу (т1; т2), онда се тачка помера у истом смеру, односно, координата к (т) расте са временом, а ако в ( т) је негативна, тада се координата к (т) смањује.
У сложенијим случајевима тачка се креће у равни или у простору. Тада је брзина векторска величина и одређује сваку од координата вектора в (т).
Слично се може упоредити са убрзањемкретање тачке. Брзина је функција времена, односно в = в (т). А дериват такве функције је убрзање кретања: а = в ’(т). Односно, испоставља се да је временски дериват брзине убрзање.
Претпоставимо да је и = ф (к) било која диференциранафункција. Тада можете размотрити кретање материјалне тачке дуж координатне линије, које се јавља иза закона к = ф (т). Механички садржај изведенице омогућава визуелну интерпретацију теорема диференцијалног рачуна.
Како могу пронаћи дериват? Проналажење деривације неке функције назива се њено диференцирање.
Наведимо примере како пронаћи изведену функцију:
Извод константне функције је нула; извод функције и = к једнак је један.
Како налазите деривацију разломка? Да бисте то урадили, узмите у обзир следеће материјале:
За било које к0 <> 0 имамо
и / к = -1 / к0 * (к + к)
Постоји неколико правила за проналажење деривата. Наиме:
Ако се функције А и Б диференцирају у тачки к0,онда се њихов збир разликује у тачки: (А + Б) ’= А’ + Б ’. Једноставно речено, деривација збира једнака је збиру деривата. Ако се функција у неком тренутку диференцира, њен прираштај следи на нулу када прираст аргумента следи на нулу.
Ако се функције А и Б диференцирају у тачки к0,тада се њихов производ диференцира у тачки: (А * Б) '= А'Б + АБ'. (Вредности функција и њихови деривати израчунавају се у тачки к0). Ако се функција А (к) диференцира у тачки к0, а Ц је константа, тада се функција ЦА диференцира у овој тачки и (ЦА) '= ЦА'. Односно, такав константан фактор се вади из знака изведенице.
Ако се функције А и Б диференцирају у тачки к0, а функција Б није једнака нули, онда се њихов однос такође диференцира у тачки: (А / Б) '= (А'Б-АБ') / Б * Б.
