Трикутник - це одна з найпоширенішихгеометричних фігур, з якої ми знайомимося вже в початковій школі. З питанням, як знайти площу трикутника, стикається кожен школяр на уроках геометрії. Так, які ж особливості знаходження площі даної фігури можна виділити? У даній статті ми розглянемо основні формули, необхідні для виконання такого завдання, а також розберемо види трикутників.
Знайти площу трикутника можна абсолютно різними способами, тому що в геометрії виділяється не один вид фігур, що містять три кути. До таких видів відносяться:
Розглянемо докладніше кожен з існуючих типів трикутників.
Така геометрична фігура вважається найбільшпоширеною при вирішенні геометричних задач. Коли виникає необхідність накреслити довільний трикутник, на допомогу приходить саме цей варіант.
У гострокутна трикутнику, як зрозуміло з назви, всі кути гострі і в сумі складають 180 °.
Такий трикутник також дуже поширений,проте зустрічається не так часто остроугольного. Наприклад, при вирішенні трикутників (т. Е. Відомо кілька його сторін і кутів і потрібно знайти залишилися елементи) іноді потрібно визначити, є кут тупим чи ні. Косинус тупого кута - це негативне число.
У тупоугольного трикутнику величина одного з кутів перевищує 90 °, тому що залишилися два кута можуть приймати маленькі значення (наприклад, 15 ° або зовсім 3 °).
Щоб знайти площу трикутника даного типу, необхідно знати деякі нюанси, про які ми поговоримо далі.
Знову ж правильним багатокутником називається фігура,включається в себе n кутів, у якій усі сторони і кути рівні. Таким і є правильний трикутник. Так як сума всіх кутів трикутника становить 180 °, то кожен з трьох кутів дорівнює 60 °.
Правильний трикутник, завдяки його властивості, також називають равносторонней фігурою.
Варто також відзначити, що в правильний трикутник можна вписати тільки одне коло і біля нього можна описати тільки одне коло, причому їх центри розташовані в одній точці.
Крім рівностороннього типу, можна також виділититрикутник, несильно від нього відрізняється. В такому трикутнику дві сторони і два кути рівні між собою, а третя сторона (до якої прилягають рівні кути) є підставою.
На малюнку показаний трикутник DEF, кути D і F якого рівні, а DF є підставою.
Прямокутний трикутник названий так тому, що один з його кутів прямий, тобто дорівнює 90 °. Інші ж два кута в сумі складають 90 °.
Найбільша сторона такого трикутника, що лежить проти кута в 90 ° є гіпотенузою, інші ж дві його сторони - це катети. Для даного типу трикутників застосовна теорема Піфагора:
Сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.
На малюнку зображено прямокутний трикутник BAC з гіпотенузою AC і катетами AB і BC.
Щоб знайти площу трикутника з прямим кутом, потрібно знати числові значення його катетів.
Перейдемо до формул знаходження площі даної фігури.
В геометрії можна виділити дві формули, якіпідходять для знаходження площі більшості видів трикутників, а саме для остроугольного, тупоугольного, правильного і рівнобедреного трикутників. Розберемо кожну з них.
Дана формула є універсальною длязнаходження площі, що розглядається нами фігури. Для цього достатньо знати довжину сторони і довжину проведеної до неї висоти. Сама формула (половина твори підстави на висоту) виглядає наступним чином:
S = ½ * A * H,
де A - сторона даного трикутника, а H - висота трикутника.
Наприклад, щоб знайти площу остроугольного трикутника ACB, потрібно помножити його сторону AB на висоту CD і розділити вийшло значення на два.
Однак не завжди буває легко знайти площутрикутника таким способом. Наприклад, щоб скористатися цією формулою для тупоугольного трикутника, необхідно продовжити одну з його сторін і тільки після цього провести до неї висоту.
На практиці дана формула застосовується частіше інших.
Дана формула, як і попередня підходить длябільшості трикутників і за своїм змістом є наслідком формули знаходження площі по стороні і висоті трикутника. Тобто розглянуту формулу можна легко вивести з попередньої. Її формулювання виглядає так:
S = ½ * sinO * A * B,
де A і B - це сторони трикутника, а O - кут між сторонами A і B.
Нагадаємо, що синус кута можна подивитися в спеціальній таблиці, названої на честь видатного радянського математика В. М. Брадіса.
А тепер перейдемо до інших формулами, відповідним тільки для виняткових видів трикутників.
Крім універсальної формули, що включає в себе необхідність проводити висоту в трикутнику, площа трикутника, що містить прямий кут, можна знайти за його катетам.
Так, площа трикутника, що містить прямий кут, - це половина твори його катетів, або:
S = ½ * a * b,
де a і b - катети прямокутного трикутника.
Даний вид геометричних фігур відрізняється тим,що його площа можна знайти при зазначеній величині лише однієї його сторони (тому що всі сторони правильного трикутника рівні). Отже, ознайомившись із завданням «знайти площу трикутника, коли сторони рівні», потрібно скористатися наступною формулою:
S = A2* √3 / 4,
де A - це сторона рівностороннього трикутника.
Останній варіант для знаходження площі трикутника - це формула Герона. Для того щоб нею скористатися, необхідно знати довжини трьох сторін фігури. Формула Герона виглядає так:
S = √p · (p - a) · (p - b) · (p - c),
де a, b і c - це сторони даного трикутника.
Іноді в завданні дано:«Площа правильного трикутника - знайти довжину його сторони». В даному випадку потрібно скористатися вже відомої нам формулою знаходження площі правильного трикутника і вивести з неї значення боку (або її квадрата):
А2 = 4S / √3.
У завданнях ДПА з математики зустрічаються безліч формул. Крім цього, досить часто необхідно знайти площу трикутника на картатій папері.
В даному випадку найзручніше провести висоту до однієї зі сторін фігури, визначити по клітинах її довжину і скористатися універсальною формулою для знаходження площі:
S = ½ * A * H.
Отже, після вивчення представлених в статті формул, у вас не виникнуть проблеми при знаходженні площі трикутника будь-якого виду.
