Заедно с производните техните функции разликите са една от основните концепции на диференциаласмятане, основният раздел на математическия анализ. Тъй като са неразривно свързани помежду си, и двамата активно се използват от няколко века за решаване на почти всички проблеми, възникнали в процеса на научна и техническа човешка дейност.
Първо обясних какво е диференциал, единна създателите (заедно с Исак Нютон) на диференциалното смятане, известният немски математик Готфрид Вилхелм Лайбниц. Преди това математиците 17 супени лъжици. използвахме много размита и неясна представа за някаква безкрайно малка „неделима“ част от всяка известна функция, която представляваше много малка постоянна стойност, но не равна на нула, по-малка от която стойностите на функцията просто не могат. Следователно имаше само една стъпка преди въвеждането на идеята за безкрайно малки увеличения на аргументите на функциите и съответните приращения на самите функции, изразени чрез производни на последната. И тази стъпка беше направена почти едновременно от двамата гореспоменати големи учени.
Въз основа на необходимостта да се адресира спешноПрактическите проблеми на механиката, породени от науката от процъфтяващата индустрия и технологии, Нютон и Лайбниц създадоха общи методи за намиране на скоростта на промяна на функциите (главно във връзка с механичната скорост на тялото по известен път), което доведе до въвеждането на понятия като производна и диференциална функция и също така намери алгоритъм за решаване на обратния проблем, как да намери изминатото разстояние с известна (променлива) скорост, което доведе до появата на концепцията за интеграл.
Творбите на Лейбниц и Нютон се появяват за първи пътсхващането, че диференциалите са основните части от инкрементите на функциите Δу, които са пропорционални на инкрементите на аргументите Δx, които могат да бъдат успешно приложени за изчисляване на стойностите на последните. С други думи, те откриха, че нарастването на дадена функция може да бъде изразено във всяка точка (в областта на нейното определение) чрез нейната производна като Δу = y "(x) Δх + αΔх, където α Δх е остатъчният термин, който се стреми към нула като Δх → 0, много по-бърз от самия Δx.
Според основателите на матанализата,диференциалите са именно първите термини в изразите на увеличения на всяка функция. Все още не притежаващи ясно формулирана концепция за границата на последователностите, те интуитивно осъзнаха, че диференциалната стойност клони към производната на функцията като Δх → 0 - Δу / Δх → y "(x).
За разлика от Нютон, който беше преди всичкофизик и смята математическия апарат за спомагателен инструмент за изследване на физическите проблеми, Лайбниц обръща повече внимание на този много инструментариум, включително система от ясни и разбираеми обозначения на математическите величини. Именно той предложи общоприетата нотация за диференциалите на функцията dy = y "(x) dx, аргумента dx и производната на функцията под формата на тяхното съотношение y" (x) = dy / dx.
Какво е диференциално по отношение на съвременната математика? Тя е тясно свързана с концепцията за променлив прираст. Ако променливата y вземе първо стойността y = y1и тогава y = y2тогава разликата у2 ─ у1 наречен прираст на у.
Ако величината Δy на произволна функция y = f (x)възможно е да се представи под формата Δy = A Δx + α, където A няма зависимост от Δx, т.е. A = const за даден x, а терминът α като Δx → 0 клони към него дори по-бързо от самия Δx, тогава първият ("Основен"), пропорционален на Δx, а за y = f (x) е диференциалът, обозначен с dy или df (x) (прочетете „de igrek“, „de eff from x“). Следователно диференциалите са "основните" линейни компоненти на нарастването на функциите по отношение на Δх.
Пусть s = f (t) – расстояние прямолинейно движеща се материална точка от първоначалната позиция (t е времето, прекарано в транзит). Нарастването Δs е пътят на точката през времевия интервал Δt, а диференциалният ds = f "(t) Δt е пътят, по който точката би изминал за същото време Δt, ако запази скоростта f" (t), постигната в момент t , За безкрайно малко Δt, въображаемият път ds се различава от истинските Δs с безкрайно малка стойност, имаща по-висок ред спрямо Δt. Ако скоростта в момент t не е равна на нула, тогава ds дава приблизителна стойност на малкото изместване на точката.
Нека L е графика на y = f (x).Тогава Δ x = MQ, Δy = QM "(виж фигурата по-долу). Допирателната MN разделя сегмента Δy на две части, QN и NM". Първият е пропорционален на Δх и е равен на QN = MQ ∙ tg (ъгъл QMN) = Δх f "(x), тоест QN е диференциалният dy.
Втората част на NM "дава разликата Δy ─ dy, когато Δx → 0дължината NM "намалява дори по-бързо от нарастването на аргумента, тоест неговият ред на малки е по-висок от този на Δx. В разглеждания случай за f" (x) ≠ 0 (допирателната не е успоредна на OX), сегментите QM "и QN са еквивалентни; с други думи, NM "намалява по-бързо (редът на малките е по-висок) от общия прираст Δу = QM". Това може да се види на фигурата (с приближаването на M "към M, сегментът NM" е все по-малък процент от сегмента QM ").
И така, графично, разликата на произволна функция е равна на нарастването на ординатата на нейната допирателна.
Коефициентът A в първия член на израза за увеличаване на функцията е равен на стойността на нейното производно f "(x). Следователно, има следното отношение - dy = f" (x) Δх, или df (x) = f "(x) Δх.
Известно е, че прирастът на независим аргумент е равен на неговия диференциал Δx = dx. Съответно можем да напишем: f "(x) dx = dy.
Намирането (понякога казват "решение") на диференциалите се извършва по същите правила, както и за производни. Списък с тях е даден по-долу.
Тук е необходимо известно пояснение.Представянето на диференциала чрез f "(x) Δx е възможно, когато разглеждаме x като аргумент. Но функцията може да бъде сложна, в която x може да бъде функция на някакъв аргумент t. Тогава представянето на диференциала чрез израза f" (x) Δx обикновено е невъзможно; с изключение на случая на линейна зависимост x = at + b.
Що се отнася до формулата f "(x) dx = dy, тогава в случай на независим аргумент x (тогава dx = Δx), а в случай на параметрична зависимост на x от t, тя представлява диференциал.
Например, изразът 2 x Δx представлява за y = x2 нейната разлика, когато x е аргумент. Сега сложете x = t2 и приемаме, че t е аргумент. Тогава y = x2 = t4.
След това следва (t + Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2, Следователно Δx = 2tΔt + Δt2, Средства: 2xΔх = 2t2 (2tΔt + Δt2 ).
Този израз не е пропорционален на Δt и затова сега 2xΔx не е диференциал. Може да се намери от уравнението y = x2 = t4, Оказва се, че е равно на dy = 4t3АТ.
Ако вземем израза 2xdx, тогава той представлява диференциала y = x2 за всеки аргумент t. Наистина за x = t2 получаваме dx = 2tΔt.
Значи 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, т.е. изразите на диференциалите, написани чрез две различни променливи, съвпадат.
Ако f "(x) ≠ 0, тогава Δy и dy са еквивалентни (като Δh → 0); ако f" (x) = 0 (което означава dy = 0), те не са еквивалентни.
Например, ако y = x2, тогава Δу = (x + Δх)2 ─ х2= 2xΔx + Δx2, и dy = 2xΔx. Ако x = 3, тогава имаме Δy = 6Δx + Δx2 и dy = 6Δx, които са еквивалентни поради Δx2→ 0, за x = 0 величините Δу = Δх2 и dy = 0 не са еквивалентни.
Этот факт, вместе с простой структурой диференциална (т.е. линейност по отношение на Δx), често се използва при приблизителни изчисления, при предположението, че Δy ≈ dy за малки Δx. Намирането на диференциала на функция обикновено е по-лесно, отколкото изчисляването на точната стойност на прираста.
Например имаме метален куб с ръб x = 10,00 см. При нагряване ръбът е удължен с Δx = 0,001 см. Колко се увеличи обемът на V куба? Имаме V = x2така dV = 3x2Δx = 3 ∙ 102∙ 0/01 = 3 (см3). Увеличението на обема ΔV е еквивалентно на диференциалното dV, така че ΔV = 3 cm3, Пълно изчисление би дало ΔV = 10.013 ─ 103 = 3.003001. Но в този резултат всички числа с изключение на първите са ненадеждни; това означава, че така или иначе трябва да го закръгляте до 3 cm3.
Очевидно този подход е полезен само ако е възможно да се оцени големината на въведената грешка.
Нека се опитаме да намерим разликата на функцията y = x3без да намира производно. Придаваме на аргумента прираст и определяме Δy.
Δy = (Δx + x)3 ─ х3 = 3x2Δx + (3xΔx2 + Δx3).
Тук коефициентът A = 3x2 независимо от Δx, така че първият член е пропорционален на Δx, докато другият термин е 3xΔx2 + Δx3 като Δх → 0 намалява по-бързо от нарастването на аргумента. Следователно член 3x2Δx е диференциалът y = x3:
dy = 3x2Δx = 3x2dx или d (x3) = 3x2DX.
Освен това d (x)3) / dx = 32.
Сега намираме dy на функцията y = 1 / x чрез нейната производна. Тогава d (1 / x) / dx = ─1 / x2, Следователно, dy = ─ Δx / x2.
По-долу са дадени диференциалите на основните алгебрични функции.
Често не е трудно да се изчисли функцията f (x), както и нейната производна f "(x) за x = a, но може да бъде трудно да се направи същото в близост до точката x = a. Тогава на помощ идва приблизителен израз
f (a + Δx) ≈ f "(a) Δx + f (a).
Той дава приблизителна стойност на функцията на малки стъпки Δx чрез диференциалния й f "(a) Δх.
Следователно тази формула дава приблизителноизразът за функцията в крайната точка на определен участък с дължина Δx като сумата от нейната стойност в началната точка на този участък (x = a) и диференциала в същата начална точка. Грешката на този метод за определяне на стойността на функцията е илюстрирана на фигурата по-долу.
Точното изражение на стойността на функцията за x = a + Δx се дава и чрез формулата на крайните нараствания (или по друг начин, формулата на Лагранж)
f (a + Δh) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),
където точката x = a + ξ е на сегмента от x = aдо x = a + Δх, въпреки че точната му позиция не е известна. Точната формула ни позволява да оценим грешката на приблизителната формула. Ако сложим ξ = Δх / 2 във формулата на Лагранж, тогава макар да престава да бъде точна, обикновено дава много по-добро приближение от оригиналния израз чрез диференциала.
Измервателните инструменти по принцип са неточни ивнасят съответните грешки в данните от измерванията. Те се характеризират с пределна абсолютна грешка или, накратко, пределна грешка - положително число, което очевидно надвишава тази грешка в абсолютна стойност (или в крайни случаи, равна на нея). Ограничаващата относителна грешка е коефициентът на нейното деление на абсолютната стойност на измереното количество.
Нека точната формула y = f (x) се използва заизчисляване на функцията y, но стойността x е резултат от измерването и следователно въвежда грешка в y. След това, за да намерите ограничаващата абсолютна грешка │Δy на функция y, използвайте формулата
│Δу│≈│dy│ = │ f "(x) ││Δх│,
където │Δх е пределната грешка на аргумента. Стойността на │Δу│ трябва да се закръгли; неточно е да се замени изчислението на прираста с изчислението на диференциала.
