Η ρίζα της εξίσωσης - εισαγωγικές πληροφορίες

Στην άλγεβρα υπάρχει η έννοια των δύο τύπων ισότητας.- ταυτότητες και εξισώσεις. Οι ταυτότητες είναι τέτοιες ισοτιμίες που είναι εφικτές για οποιεσδήποτε αξίες των γραμμάτων στα οποία περιλαμβάνονται. Οι εξισώσεις είναι επίσης ισότητες, αλλά είναι εκτελέσιμες μόνο για ορισμένες τιμές των γραμμάτων που περιέχονται σε αυτά.

Τα γράμματα σχετικά με την κατάσταση του προβλήματος είναι συνήθωςάνιση. Αυτό σημαίνει ότι ορισμένοι από αυτούς μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε έγκυρες τιμές, που ονομάζονται συντελεστές (ή παράμετροι), ενώ άλλοι - αποκαλούνται άγνωστοι - λαμβάνουν τιμές που πρέπει να βρεθούν στη διαδικασία λήψης αποφάσεων. Κατά κανόνα, οι άγνωστες ποσότητες σημειώνονται στα γράμματα με τα γράμματα, τα τελευταία στο λατινικό αλφάβητο (x.y.z κ.λπ.) ή με τα ίδια γράμματα, αλλά με ένα ευρετήριο (x₁x₂, κλπ.) και οι γνωστοί συντελεστές είναι τα πρώτα γράμματα του ίδιου αλφάβητου.

Με τον αριθμό των άγνωστων, οι εξισώσεις μεένα, δύο και πολλά άγνωστα. Έτσι, όλες οι αξίες των άγνωστων για τις οποίες η επίλυση της εξίσωσης μετατρέπεται σε μια ταυτότητα ονομάζονται λύσεις εξισώσεων. Μια εξίσωση μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει λυθεί εάν όλες οι λύσεις της βρίσκονται ή αποδεικνύεται ότι δεν συμβαίνει. Το έργο «να λύσεις την εξίσωση» στην πράξη είναι κοινό και σημαίνει ότι πρέπει να βρεις τη ρίζα της εξίσωσης.

Ορισμός: οι ρίζες της εξίσωσης είναι εκείνες οι αξίες άγνωστων από την περιοχή της παραδεκτής, στην οποία η λυθείσα εξίσωση μετατρέπεται σε ταυτότητα.

Ο αλγόριθμος για την επίλυση όλων των εξισώσεων είναι ο ίδιος και η σημασία του είναι να φέρει αυτή την έκφραση σε μια απλούστερη μορφή χρησιμοποιώντας μαθηματικούς μετασχηματισμούς.
Οι εξισώσεις που έχουν τις ίδιες ρίζες καλούνται ισοδύναμες στην άλγεβρα.

Το απλούστερο παράδειγμα: 7x-49 = 0, η ρίζα της εξίσωσης είναι x = 7;
x-7 = 0, ομοίως, η ρίζα είναι x = 7, επομένως, οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες. (Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, ίσως οι ισοδύναμες εξισώσεις δεν έχουν καθόλου ρίζες).

Εάν η ρίζα της εξίσωσης είναι ταυτόχρονα η ρίζα μιας άλλης, απλούστερης εξίσωσης που προέρχεται από το πρωτότυπο μέσω μετασχηματισμών, τότε ο τελευταίος καλείται συνέπεια της προηγούμενης εξίσωσης.

Εάν οι δύο εξισώσεις τους είναι μία συνέπεια του άλλου, τότε θεωρούνται ισοδύναμες. Ονομάζονται επίσης ισοδύναμα. Το παραπάνω παράδειγμα δείχνει αυτό.

Επίλυση ακόμη και των πιο απλών εξισώσεων στην πράξησυχνά προκαλεί δυσκολίες. Ως αποτέλεσμα της λύσης, μπορείτε να πάρετε μια ρίζα της εξίσωσης, δύο ή περισσότερες, ακόμη και ένας άπειρος αριθμός - εξαρτάται από τον τύπο των εξισώσεων. Υπάρχουν εκείνοι που δεν έχουν ρίζες, καλούνται ανυπόφοροι.

Παραδείγματα:
1) 15χ-20 = 10; x = 2. Αυτή είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης.
2) 7χ-γ = 0. Η εξίσωση έχει έναν άπειρο αριθμό ριζών, καθώς κάθε μεταβλητή μπορεί να έχει άπειρο αριθμό τιμών.
3) χ²= - 16. Ο αριθμός που αυξάνεται στη δεύτερη ισχύ δίνει πάντα ένα θετικό αποτέλεσμα, οπότε είναι αδύνατο να βρεθεί η ρίζα της εξίσωσης. Αυτή είναι μια από τις αδιάσειστες εξισώσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω.

Η ορθότητα της λύσης ελέγχεται αντικαθιστώντας τις ριζωμένες ρίζες αντί των γραμμάτων και επιλύοντας το προκύπτον παράδειγμα. Εάν η ταυτότητα τηρείται, η απόφαση είναι σωστή.