सीखने की संभावना सिद्धांत को हल करने के साथ शुरू होता हैसंभावनाओं के जोड़ और गुणा पर समस्याएँ। यह तुरंत ध्यान देने योग्य है कि ज्ञान के इस क्षेत्र में महारत हासिल करने वाला एक छात्र एक समस्या का सामना कर सकता है: यदि भौतिक या रासायनिक प्रक्रियाओं को कल्पना से समझा और अनुभव किया जा सकता है, तो गणितीय अमूर्तता का स्तर बहुत अधिक है, और यहां समझ केवल अनुभव के साथ आती है।
हालाँकि, खेल मोमबत्ती के लायक है, क्योंकि सूत्र - इस आलेख में चर्चा करने वाले और अधिक जटिल दोनों - आज हर जगह उपयोग किए जाते हैं और काम में अच्छी तरह से उपयोगी हो सकते हैं।
अजीब तरह से पर्याप्त, इस के विकास के लिए प्रेरणागणित का खंड बन गया ... जुआ। वास्तव में, पासा, सिक्का टॉस, पोकर, रूले विशिष्ट उदाहरण हैं जो संभावनाओं के जोड़ और गुणा का उपयोग करते हैं। यह किसी भी पाठ्यपुस्तक में कार्यों के उदाहरण पर स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। लोग सीखने में रुचि रखते थे कि उनके जीतने की संभावना कैसे बढ़े, और मुझे कहना होगा, कुछ सफल हुए हैं।
हालांकि, ब्याज में वृद्धि के बावजूदविषय, केवल XX सदी तक एक सैद्धांतिक आधार विकसित किया गया था, जिससे "सिद्धांतकार" गणित का पूर्ण विकसित घटक बन गया। आज, लगभग किसी भी विज्ञान में, आप संभाव्य विधियों का उपयोग करके गणना पा सकते हैं।
जोड़ सूत्र का उपयोग करते समय एक महत्वपूर्ण बिंदुऔर संभावनाओं का गुणन, सशर्त संभावना केंद्रीय सीमा प्रमेय की संतुष्टि है। अन्यथा, हालांकि छात्र को यह एहसास नहीं हो सकता है, सभी गणना, चाहे वे कितने भी प्रशंसनीय लगें, गलत होगा।
हां, एक उच्च प्रेरित छात्र हर अवसर पर नए ज्ञान का उपयोग करने के लिए लुभाता है। लेकिन इस मामले में, आपको थोड़ा धीमा करना चाहिए और सख्ती से प्रयोज्यता के दायरे की रूपरेखा तैयार करनी चाहिए।
संभावना सिद्धांत यादृच्छिक से संबंधित हैऐसी घटनाएँ, जो अनुभवजन्य शब्दों में, प्रयोगों के परिणामों का प्रतिनिधित्व करती हैं: हम छह चेहरों के साथ पासा रोल कर सकते हैं, एक कार्ड को डेक से खींच सकते हैं, एक बैच में दोषपूर्ण भागों की संख्या की भविष्यवाणी कर सकते हैं। हालांकि, कुछ प्रश्नों में, गणित के इस भाग से सूत्रों का उपयोग करना स्पष्ट रूप से असंभव है। हम एक घटना की संभावनाओं पर विचार करने की सुविधाओं पर चर्चा करेंगे, लेख के अंत में घटनाओं को जोड़ने और गुणा करने के सिद्धांत, लेकिन अब हम उदाहरणों की ओर मुड़ेंगे।
एक यादृच्छिक घटना का मतलब कुछ हैएक प्रक्रिया या परिणाम जो प्रयोग के परिणामस्वरूप प्रकट हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए, हम एक सैंडविच टॉस करते हैं - यह तेल ऊपर या तेल नीचे गिर सकता है। दोनों में से कोई भी परिणाम यादृच्छिक होगा, और हम पहले से नहीं जानते हैं कि उनमें से कौन सा स्थान लेगा।
ऐसी घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है, उपस्थितिजिनमें से एक दूसरे की उपस्थिति को बाहर नहीं करता है। मान लीजिए कि एक ही समय पर दो लोग एक लक्ष्य पर गोली चलाते हैं। यदि उनमें से एक सफल शॉट लगाता है, तो इससे दूसरे की बैल की आंख मारने या मिस करने की क्षमता प्रभावित नहीं होगी।
असंगत ऐसी घटनाएं होंगी, जिनमें से घटना एक साथ असंभव है। उदाहरण के लिए, बॉक्स से केवल एक गेंद को बाहर निकालना, आप एक ही बार में नीले और लाल दोनों को प्राप्त नहीं कर सकते।
संभाव्यता की धारणा को लैटिन राजधानी पत्र पी। द्वारा निरूपित किया गया है। आगे, कोष्ठक में, कुछ घटनाओं को निरूपित करने वाले तर्क हैं।
जोड़ प्रमेय, सशर्त के सूत्रों मेंसंभाव्यताएं, गुणन प्रमेय, आप कोष्ठक में अभिव्यक्ति देखेंगे, उदाहरण के लिए: A + B, AB या A | B | उनकी गणना विभिन्न तरीकों से की जाएगी, अब हम उनकी ओर रुख करेंगे।
आइए उन मामलों पर विचार करें जिनमें संभावनाओं के जोड़ और गुणा के सूत्र का उपयोग किया जाता है।
असंगत घटनाओं के लिए, सबसे सरल जोड़ सूत्र प्रासंगिक है: किसी भी यादृच्छिक परिणाम की संभावना इन परिणामों में से प्रत्येक की संभावनाओं के योग के बराबर होगी।
असंगत घटनाओं के मामले में, सूत्र अधिक जटिल हो जाता है, क्योंकि एक अतिरिक्त शब्द जोड़ा जाता है। दूसरे सूत्र पर विचार करने के बाद, एक पैराग्राफ में इसे वापस आते हैं।
स्वतंत्र की संभावनाओं का जोड़ और गुणाघटनाओं का उपयोग विभिन्न मामलों में किया जाता है। यदि, प्रयोग की शर्तों के अनुसार, हम दो संभावित परिणामों में से किसी से संतुष्ट हैं, तो हम राशि की गणना करेंगे; यदि हम एक के बाद एक दो निश्चित परिणाम प्राप्त करना चाहते हैं, तो हम एक अलग सूत्र का उपयोग करने का सहारा लेंगे।
पिछले अनुभाग से उदाहरण पर लौटते हुए, हमहम पहले नीली गेंद को बाहर निकालना चाहते हैं, और फिर लाल को। हमारे द्वारा ज्ञात पहली संख्या 2/10 है। आगे क्या होगा? 9 गेंदें बाकी हैं, उनमें से अभी भी कई लाल हैं - तीन। गणना के अनुसार, आपको 3/9 या 1/3 मिलता है। लेकिन अब दो नंबरों का क्या करें? सही उत्तर 2/30 प्राप्त करने के लिए गुणा करना है।
अब आप संयुक्त आयोजनों के योग सूत्र पर वापस जा सकते हैं। हमने विषय को क्यों पचाया? यह जानने के लिए कि संभाव्यता कितनी गुणा की जाती है। अब यह ज्ञान हमारे लिए उपयोगी होगा।
मान लीजिए कि हमें किसी भी दो समस्याओं को हल करना है,क्रेडिट पाने के लिए। हम पहले वाले को 0.3 की संभावना के साथ हल कर सकते हैं, और दूसरे को - 0.6। हल: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72। ध्यान दें कि बस संख्याओं को समेटना यहाँ पर्याप्त नहीं होगा।
अंत में, सशर्त संभाव्यता की अवधारणा है,जिनके तर्क को कोष्ठक में इंगित किया गया है और एक पाइप द्वारा अलग किया गया है। P (A | B) रिकॉर्ड निम्नानुसार पढ़ता है: "घटना की संभावना A दी गई घटना B"।
आइए एक उदाहरण देखें: एक दोस्त आपको कुछ उपकरण देता है, इसे एक टेलीफोन होने दें। इसे (20%) या सर्विसिबल (80%) तोड़ा जा सकता है। आप किसी भी उपकरण की मरम्मत करने में सक्षम हैं जो 0.4 की संभावना के साथ आपके हाथों में गिर गया है, या आप ऐसा करने में सक्षम नहीं हैं (0.6)। अंत में, यदि डिवाइस कार्य क्रम में है, तो आप 0.7 की संभावना वाले सही व्यक्ति के माध्यम से प्राप्त कर सकते हैं।
इस मामले में यह देखना आसान हैसशर्त संभावना: आप एक व्यक्ति तक नहीं पहुंच पाएंगे यदि फोन टूट गया है, और यदि यह सेवा योग्य है, तो आपको इसे सुधारने की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, "दूसरे स्तर" पर कोई परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि पहले किस घटना को निष्पादित किया गया था।
आइए पिछले पैराग्राफ से डेटा का उपयोग करके समस्याओं को सुलझाने और संभावनाओं को गुणा करने के उदाहरणों पर विचार करें।
पहले, चलो संभावना है कि आप पाते हैंआपको दिए गए उपकरण की मरम्मत करें। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, यह दोषपूर्ण होना चाहिए, और दूसरी बात, आपको मरम्मत के साथ सामना करना होगा। गुणन का उपयोग करते हुए यह एक विशिष्ट समस्या है: हमें 0.2 * 0.4 = 0.08 मिलता है।
अंत में, इस विकल्प पर विचार करें: आपको एक टूटा हुआ फ़ोन मिला, उसे ठीक किया, फिर नंबर डायल किया और दूसरे व्यक्ति ने फ़ोन उठाया। यहां, तीन घटकों का गुणन पहले से ही आवश्यक है: 0.2 * 0.4 * 0.7 = 0.056।
और अगर आपके पास दो गैर-काम हैं तो क्या करेंफ़ोन? आपको उनमें से कम से कम एक को ठीक करने की कितनी संभावना है? यह संभावनाओं को जोड़ने और गुणा करने की एक समस्या है, क्योंकि संयुक्त घटनाओं का उपयोग किया जाता है। हल: 0.4 + 0.4 - 0.4 * 0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64। इस प्रकार, यदि आप दो टूटे हुए उपकरणों पर अपना हाथ रखते हैं, तो आप 64% मामलों में मरम्मत का सामना करेंगे।
जैसा कि लेख की शुरुआत में बताया गया है, संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग जानबूझकर और जानबूझकर किया जाना चाहिए।
प्रयोगों की श्रृंखला जितनी बड़ी होगी, करीबव्यवहार में प्राप्त एक के लिए सैद्धांतिक रूप से अनुमानित मूल्य फिट बैठता है। उदाहरण के लिए, हम एक सिक्का उछाल रहे हैं। सैद्धांतिक रूप से, संभावनाओं को जोड़ने और गुणा करने के लिए सूत्रों के अस्तित्व के बारे में जानकर, हम अनुमान लगा सकते हैं कि यदि हम 10 बार प्रयोग करते हैं तो "सिर" और "पूंछ" कितनी बार बाहर आएंगे। हमने एक प्रयोग किया, और संयोग से, पक्षों का अनुपात 3 से 7 तक गिर गया था। लेकिन अगर हम 100, 1000 या अधिक प्रयासों की एक श्रृंखला चलाते हैं, तो यह पता चलता है कि वितरण ग्राफ सैद्धांतिक एक: 44 से 56, 482 से 518, और इसी तरह करीब हो रहा है।
इस प्रकार, यदि आप देखेंअज्ञात, अस्पष्टीकृत क्षेत्र, संभाव्यता का सिद्धांत लागू नहीं हो सकता है। इस मामले में प्रत्येक बाद का प्रयास सफल हो सकता है और "एक्स मौजूद नहीं है" या "एक्स असंभव है" जैसे सामान्यीकरण समय से पहले हो जाएंगे।
तो, हमने दो प्रकार के जोड़ पर विचार किया, गुणाऔर सशर्त संभावनाएं। जैसा कि आप आगे इस क्षेत्र का पता लगाते हैं, आपको उन परिस्थितियों के बीच अंतर करना सीखना होगा जहां प्रत्येक विशिष्ट सूत्र का उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, आपको यह कल्पना करने की आवश्यकता है कि क्या संभाव्य तरीके आम तौर पर आपकी समस्या को हल करने के लिए लागू होते हैं।
