A legegyszerűbb y = Sin (x) trigonometria függvény,minden ponton megkülönböztethető a meghatározás teljes területétől. Be kell bizonyítani, hogy bármely érv szinuszának deriváltja megegyezik az azonos szög koszinuszával, azaz '= Cos (x).
A bizonyítás a derivált függvény meghatározásán alapul
Az x pontot (tetszőlegesen) definiáljuk egy adott x pont kis Δx szomszédságában0. Megmutatjuk a függvény értékét benne, és az x pontban megkeresjük az adott függvény növekedését. Ha Δx az argumentum növekedése, akkor az új argumentum x0+ Δx = x, ennek a függvénynek az értéke az y (x) argumentum adott értékére Sin (x)0+ Δx), a függvény értéke egy adott y ponton (x0) szintén ismert.
Most Δy = Sin (x0+ Δx) -Sin (x0) A függvény kapott növekménye.
A szinuszképlet alkalmazásával két egyenlőtlen szög összege átalakítja a Δу különbséget.
Δy = Sin (x0) Cos (Δx) + Cos (x0) Sin (Δx) mínusz Sin (x0) = (Cos (Ax) -1) Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (Δх).
Végeztük a kifejezések permutációját, az elsőt csoportosítva a harmadik Sin-rel (x0) a zárójelekből kihúzta a közös tényezőt - a sinuszt.A kifejezésben a Cos (Δx) -1 különbséget kaptam. A konzol előtt és a zárójelben lévő jelölést meg kell változtatni. Tudva, mi az 1-Cos (Δx), készítsen csere-eredményt, és kapjon egy egyszerűsített Δy kifejezést, amelyet Δx-el osztunk.
Δу / Δх formája: Cos (x0) Sin (Δx) / xx-2 Sin2(0,5 · Δх) · bűn (х0) / Δx. Ez a függvény növekményének az argumentum megengedett növekedéséhez viszonyított aránya.
Meg kell találni az általunk kapott Δx relációs limit nullára mutató határát.
Ismert, hogy a Sin (Δx) / Δx határ ebben az esetben 1. És a 2 · bűn kifejezés2(0,5 · Δх) / Δх a kapott hányadosbanátalakulások olyan termékké, amely az első figyelemre méltó határértéket tartalmazza tényezőként: a számlálót és a frakció negatívát elosztjuk 2-vel, a szinusz négyzetét cseréljük a termékre. Így:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (A x / 2).
Ennek a kifejezésnek a határa, ha Δx nulla, nullával egyenlő (1-szer 0). Kiderült, hogy az Δy / Δх hányadosa Cos (x0) · 1-0, ez Cos (x0), egy olyan kifejezés, amely nem függ Δx-től, és amelyre 0-ra esik. Ennélfogva a következtetés az alábbiak szerint alakul ki: bármelyik szög szinuszának deriváltja megegyezik x koszinuszával, így írjuk: y '= Cos (x).
A kapott képlet bekerül a jól ismert származéktáblázatba, ahol minden elemi funkciót összegyűjtünk
Olyan problémák megoldásakor, ahol a származék előfordulSzinusz, használhatja a megkülönböztetés szabályait és a kész képleteket az asztalból. Például: keresse meg az y = 3 · Sin (x) -15 legegyszerűbb függvény derivációját. A differenciálás elemi szabályait, a számtényezőnek a derivált jelével történő eltávolítását és egy állandó szám deriváltjának számítását (ez egyenlő nullával) használjuk. Az x szög szinuszának deriváltjának táblázatos értékét alkalmazzuk, amely Cos (x) -vel egyenlő. Megkapjuk a választ: y "= 3 · Cos (x) -O. Ez a származék viszont szintén egy alapfunkció y = 3 · Cos (x).
A szinusz deriváltja bármilyen érv négyzete
A kifejezés értékelésekor (Sin2(x)) „emlékeztetni kell arra, hogy a komplex funkció hogyan különbözik egymástól. Tehát y = bűn2(x) - egy erőfüggvény, mivel a szinusz négyzet. Érvelése egy trigonometrikus függvény is, nehéz érv.Az eredmény ebben az esetben megegyezik a szorzattal, amelynek első tényezője az adott komplex argumentum négyzetének deriváltja, a második pedig a szinusz deriváltja. Így néz ki a függvénynek a függvénytől való megkülönböztetésére vonatkozó szabály: (u (v (x))) „egyenlő (u (v (x)))“ · (v (x)). ”Az v (x) kifejezés komplex érv (belső függvény). Ha a "játék megegyezik az x szinusz négyzettel" függvényt kapjuk, akkor ennek a komplex függvénynek a származéka a következő lesz: "= 2 · Sin (x) · Cos (x). A termékben az első kettős tényező az ismert teljesítményfüggvény derivációja, és Cos (x) a szinusz deriváltja, amely egy komplex kvadratikus függvény érve. A végeredmény a kettős szög trigonometrikus szinusz-képletével transzformálható. Válasz: a derivátum Sin (2x) -vel egyenlő. Ez a képlet könnyen megjegyezhető, gyakran táblázatként használják.
