Alături de derivate funcțiile lor diferențialele sunt unul dintre conceptele de bază ale diferențialuluicalculul, secțiunea principală a analizei matematice. Fiind legați indisolubil, amândoi au fost folosiți activ timp de câteva secole pentru a rezolva aproape toate problemele apărute în procesul activității umane științifice și tehnice.
A explicat pentru prima dată ce este un diferențial, unuldintre fondatorii (împreună cu Isaac Newton) ai calculului diferențial, celebrul matematician german Gottfried Wilhelm Leibniz. Înainte de aceasta, matematicienii art. a folosit o idee foarte neclară și vagă a unei părți infinitesimale „indivizibile” a oricărei funcții cunoscute, reprezentând o valoare constantă foarte mică, dar care nu este egală cu zero, mai mică decât valorile funcției pur și simplu nu pot fi. De aici a existat un singur pas către introducerea conceptului de creșteri infinit de mici ale argumentelor funcțiilor și ale creșterilor corespunzătoare ale funcțiilor în sine, exprimate în termenii derivatelor acestora din urmă. Și acest pas a fost făcut aproape simultan de cei doi mari oameni de știință menționați mai sus.
Plecând de la necesitatea abordării urgenteprobleme practice ale mecanicii, pe care industria și tehnologia în dezvoltare rapidă le-au pus înaintea științei, Newton și Leibniz au creat metode generale pentru găsirea ratei de schimbare a funcțiilor (în primul rând în raport cu viteza mecanică de mișcare a unui corp de-a lungul unei traiectorii cunoscute), ceea ce a condus la introducerea unor concepte precum derivata și diferențialul unei funcții și, de asemenea, a găsit un algoritm pentru rezolvarea problemei inverse, cum să găsim calea parcursă de la o viteză cunoscută (variabilă), care a dus la apariția conceptului de integral.
În scrierile lui Leibniz și Newton, a apărut pentru prima datăideea că diferențialele sunt proporționale cu incrementele argumentelor Δх, principalele părți ale incrementelor funcțiilor Δу, care pot fi aplicate cu succes pentru a calcula valorile acestora din urmă. Cu alte cuvinte, au descoperit că creșterea unei funcții poate fi în orice punct (în domeniul definiției sale) exprimată în termenii derivatei sale ca Δу = y "(x) Δх + αΔх, unde α Δх este restul, având tendința la zero ca Δх → 0 este mult mai rapid decât itselfx în sine.
Potrivit fondatorilor matanalizei,diferențialele sunt exact primii termeni din expresiile pentru incrementele oricărei funcții. Încă nu posedă un concept clar formulat al limitei secvențelor, au înțeles intuitiv că valoarea diferențialului tinde spre derivarea funcției ca Δх → 0 - Δу / Δх → y "(x).
Spre deosebire de Newton, care era în primul rândfizician și considerat aparatul matematic ca un instrument auxiliar pentru studiul problemelor fizice, Leibniz a acordat mai multă atenție acestui set de instrumente, inclusiv sistemului de denumiri vizuale și de înțeles ale mărimilor matematice. El a propus notația general acceptată pentru diferențialele funcției dy = y "(x) dx, argumentul dx și derivatul funcției sub forma raportului lor y" (x) = dy / dx.
Ce este un diferențial din punctul de vedere al matematicii moderne? Este strâns legată de conceptul de increment variabil. Dacă variabila y ia mai întâi valoarea y = y1și apoi y = y2, apoi diferența y2 ─ y1 se numește creșterea lui y.
Dacă valoarea Δу a unei funcții arbitrare y = f (x)este posibil să se reprezinte în forma Δу = A Δх + α, unde A nu depinde de Δх, adică, A = const pentru un x dat, iar termenul α la Δх → 0 tinde spre el chiar mai repede decât itselfх însuși, atunci primul („Principal”) termen proporțional cu Δх și este pentru y = f (x) diferențialul, notat dy sau df (x) (citește „de ygrek”, „de eff from x”). Prin urmare, diferențialele sunt componentele „principale” ale creșterilor de funcții, liniare față de Δх.
Fie s = f (t) o distanță dreaptădeplasarea punctului material din poziția inițială (t este timpul petrecut pe drum). Incrementul Δs este calea punctului pe intervalul de timp Δt, iar diferențialul ds = f "(t) Δt este calea pe care ar fi parcurs-o punctul în același timp Δt dacă ar fi păstrat viteza f" (t) atinsă de timpul t ... Pentru un itest infinitesimal, calea imaginară ds diferă de trues adevărat printr-o valoare infinitesimală, care are un ordin mai mare față de Δt. Dacă viteza la timpul t nu este zero, atunci ds oferă o valoare aproximativă pentru mica deplasare a punctului.
Fie dreapta L graficul lui y = f (x).Apoi Δ х = MQ, Δу = QM "(vezi figura de mai jos). Linia tangentă MN împarte segmentul Δу în două părți, QN și NM". Primul este proporțional cu Δх și este egal cu QN = MQ ∙ tg (unghiul QMN) = Δх f "(x), adică QN este dy-ul diferențial.
A doua parte NM "dă diferența Δу ─ dy, la Δх → 0lungimea NM "scade chiar mai repede decât creșterea argumentului, adică ordinea sa de mărime este mai mare decât cea a lui Δx. În cazul analizat, pentru f" (x) ≠ 0 (tangenta nu este paralelă cu OX), segmentele QM "și QN sunt echivalente; cu alte cuvinte, NM „scade mai repede (ordinea micuței sale este mai mare) decât creșterea totală Δу = QM". Acest lucru se poate vedea în figură (pe măsură ce M „se apropie de M, segmentul NM„ reprezintă un procent mai mic din segmentul QM ").
Deci, grafic, diferențialul unei funcții arbitrare este egal cu creșterea ordonatei tangentei sale.
Coeficientul A din primul termen al expresiei pentru creșterea funcției este egal cu valoarea derivatei sale f "(x). Astfel, se ține următoarea relație - dy = f" (x) Δх sau df (x) = f "(x) Δх.
Se știe că creșterea unui argument independent este egală cu diferențialul său Δх = dx. În consecință, puteți scrie: f "(x) dx = dy.
Găsirea diferențelor (uneori se spune, „rezolvarea”) se efectuează în conformitate cu aceleași reguli ca și pentru derivate. O listă a acestora este prezentată mai jos.
Sunt necesare câteva clarificări aici.Reprezentarea prin cantitatea f "(x) Δх a diferențialului este posibilă atunci când se consideră x ca argument. Dar funcția poate fi complexă, în care x poate fi o funcție a unui argument t. Atunci reprezentarea diferențialului prin expresia f" (x) Δх este, de regulă, imposibilă; cu excepția cazului de dependență liniară х = at + b.
În ceea ce privește formula f "(x) dx = dy, atunci în cazul unui argument independent x (atunci dx = Δx), și în cazul unei dependențe parametrice a lui x de t, acesta reprezintă un diferențial.
De exemplu, expresia 2 x Δx reprezintă pentru y = x2 diferențialul său atunci când x este un argument. Acum punem x = t2 și vom considera t ca un argument. Atunci y = x2 = t4.
Aceasta este urmată de (t + Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2... Prin urmare, Δх = 2tΔt + Δt2... Mijloace: 2xΔx = 2t2 (2tΔt + Δt2 ).
Această expresie nu este proporțională cu Δt și, prin urmare, acum 2xΔx nu este un diferențial. Se poate găsi din ecuația y = x2 = t4... Se dovedește a fi egal cu dy = 4t3Δt.
Dacă luăm expresia 2xdx, atunci reprezintă diferențialul y = x2 pentru orice argument t. Într-adevăr, pentru x = t2 obținem dx = 2tΔt.
Deci 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, adică expresiile diferențialelor scrise în termeni de două variabile diferite au coincis.
Dacă f "(x) ≠ 0, atunci Δу și dy sunt echivalente (când Δх → 0); când f" (x) = 0 (ceea ce înseamnă dy = 0), ele nu sunt echivalente.
De exemplu, dacă y = x2, apoi Δу = (x + Δх)2 ─ x2= 2xΔx + Δx2și dy = 2xΔx. Dacă x = 3, atunci avem Δy = 6Δx + Δx2 și dy = 6Δх, care sunt echivalente datorită lui Δх2→ 0, la х = 0 valorile Δу = Δх2 și dy = 0 nu sunt echivalente.
Acest fapt, împreună cu o structură simplădiferențialul (adică liniaritatea față de Δx) este adesea utilizat în calcule aproximative, în ipoteza că Δу ≈ dy pentru Δх mic. Găsirea diferențialului unei funcții este de obicei mai ușoară decât calcularea valorii exacte a incrementului.
De exemplu, avem un cub metalic cu marginea x = 10,00 cm. Când este încălzit, marginea s-a lungit cu Δх = 0,001 cm. Cât a crescut volumul V al cubului? Avem V = x2astfel încât dV = 3x2Δх = 3 ∙ 102∙ 0/01 = 3 (cm3). Creșterea volumului ΔV este echivalentă cu diferențialul dV, astfel încât ΔV = 3 cm3... Un calcul complet ar da ΔV = 10.013 ─ 103 = 3.003001. Dar în acest rezultat, toate numerele, cu excepția primului, nu sunt fiabile; deci, oricum, trebuie să-l rotunjiți până la 3 cm3.
Evident, această abordare este utilă numai dacă este posibilă estimarea mărimii erorii introduse.
Să încercăm să găsim diferența funcției y = x3fără a găsi un derivat. Să dăm argumentului un increment și să definim Δу.
Δу = (Δх + x)3 ─ x3 = 3x2Δx + (3xΔx2 + Δx3).
Aici coeficientul A = 3x2 nu depinde de Δx, astfel încât primul termen este proporțional cu Δx, în timp ce celălalt termen este 3xΔx2 + Δx3 la Δх → 0 scade mai repede decât incrementul argumentului. Deci o prostie de 3x2Δx este diferența y = x3:
dy = 3x2Δх = 3x2dx sau d (x3) = 3x2dx.
Mai mult, d (x3) / dx = 3x2.
Să găsim acum dy al funcției y = 1 / x în termenii derivatei sale. Atunci d (1 / x) / dx = ─1 / x2... Prin urmare dy = ─ Δх / х2.
Diferenţialele funcţiilor algebrice de bază sunt date mai jos.
Este adesea ușor de calculat funcția f (x), precum și derivata ei f "(x) pentru x = a, dar nu este ușor să faci același lucru în vecinătatea punctului x = a. Atunci o aproximație expresia vine în ajutor
f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).
Oferă o valoare aproximativă a funcției la incremente mici Δх prin diferența sa f "(a) Δх.
Prin urmare, această formulă oferă o valoare aproximativăexpresie pentru funcția la punctul final al unei anumite secțiuni de lungime Δx ca sumă a valorii acesteia la punctul de început al acestei secțiuni (x = a) și diferența din același punct de plecare. Eroarea acestei metode de determinare a valorii funcției este ilustrată în figura de mai jos.
Cu toate acestea, se cunoaște și expresia exactă a valorii funcției pentru x = a + Δх, dată de formula creșterilor finite (sau, în caz contrar, de formula Lagrange)
f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),
unde punctul x = a + ξ este situat pe segmentul din x = apână la x = a + Δх, deși poziția sa exactă este necunoscută. Formula exactă vă permite să estimați eroarea formulei aproximative. Dacă punem ξ = Δx / 2 în formula Lagrange, atunci, deși încetează să fie exactă, de obicei oferă o aproximare mult mai bună decât expresia inițială în ceea ce privește diferența.
Instrumentele de măsurare sunt în principiu imprecise șiintroduce erorile corespunzătoare în datele de măsurare. Ele se caracterizează prin eroarea limită absolută sau, pe scurt, eroarea limită - un număr pozitiv, depășind în mod evident această eroare în valoare absolută (sau, în cazuri extreme, egală cu aceasta). Eroarea relativă limită se numește coeficientul împărțirii sale la valoarea absolută a valorii măsurate.
Fie folosită formula exactă y = f (x).calculul funcției y, dar valoarea lui x este rezultatul măsurării și, prin urmare, introduce o eroare în y. Apoi, pentru a găsi eroarea absolută limitativă │Δу│ a funcției y, utilizați formula
│Δу│≈│dy│ = │ f „(x) ││Δх│,
unde │Δх│ este eroarea limitatoare a argumentului. Valoarea │Δу│ ar trebui rotunjită în sus, deoarece este inexact în sine înlocuirea calculului incrementului cu calculul diferenţialului.
