Den enklaste trigonometrifunktionen y = Sin (x),det kan differentieras vid var och en av dess punkter från hela definitionsområdet. Det är nödvändigt att bevisa att derivatet av sinus i alla argument är lika med kosinus med samma vinkel, det vill säga '= Cos (x).
Beviset är baserat på definitionen av en derivatfunktion
Vi definierar x (godtyckligt) i ett litet område Δx för en specifik punkt x0. Vi visar värdet på funktionen i den och vid punkten x för att hitta steget för den givna funktionen. Om Δx är ökningen av argumentet, är det nya argumentet x0+ Δx = x, värdet på denna funktion för ett givet värde för argumentet y (x) är Sin (x0+ Δx), värdet på funktionen vid en specifik punkt y (x0) är också känd.
Nu har vi Δy = Sin (x0+ Aх) -Sin (x0) Är den resulterande ökningen av funktionen.
Enligt sinusformeln för summan av två ojämna vinklar kommer vi att transformera skillnaden Δу.
Δу = Sin (x0) Cos (Δx) + Cos (x0) Sin (Δx) minus Sin (x0) = (Cos (Δx) -1) Sin (x0) + Cos (x0) Sin (Δх).
Permuterade villkoren, grupperade den första med den tredje Sin (x0), placera den gemensamma faktorn - sinus - utanför parenteserna. Fick i uttrycket skillnaden Cos (Δx) -1. Det återstår att byta skylt framför fästet och inom fästet. Att veta vad 1-Cos (Δх) är lika med, kommer vi att byta ut och få ett förenklat uttryck för Δу, som vi sedan delar med Δх.
Δу / Δх har formen: Cos (x0) Sin (Δх) / Δх-2 Sin2(0,5 Ax) Sin (x0) / A ^. Detta är förhållandet mellan funktionsinkrement och tillåtet argumentinkrement.
Det återstår att hitta gränsen för förhållandegränsen som vi erhållit vid Δx som tenderar till noll.
Det är känt att Sin (Δx) / Δx-gränsen är 1 under detta tillstånd. Och uttrycket 2 synd2(0,5 Δx) / Δx i den resulterande kvoten låt oss summeraomvandlingar till en produkt som innehåller den första anmärkningsvärda gränsen som en multiplikator: dela täljaren och nollor för fraktionen med 2, ersätt sinuskvadrat med produkten. Så här:
(Sin (0,5 Δx) / (0,5 Δx)) Sin (Δx / 2).
Gränsen för detta uttryck med Δx som tenderar till noll kommer att vara lika med antalet noll (1 multiplicerat med 0). Det visar sig att gränsen för förhållandet Δy / Δх är lika med Cos (x0) 1-0, detta är Cos (x0), ett uttryck som inte beror på Δx som tenderar till 0. Följaktligen följer slutsatsen: derivatet av sinus i vilken vinkel som helst är lika med cosinus x, vi skriver det enligt följande: y '= Cos (x).
Den resulterande formeln anges i den välkända tabellen över derivat, där alla elementära funktioner samlas in
När man löser problem där derivatet uppstårsinus kan du använda reglerna för differentiering och färdiga formler från tabellen. Till exempel: hitta derivatet av den enklaste funktionen y = 3 · Sin (x) -15. Vi kommer att använda de elementära reglerna för differentiering, ta bort en numerisk faktor utanför tecknet på derivatet och beräkna derivatet av ett konstant tal (det är lika med noll). Vi tillämpar tabellvärdet för derivatet av sinus för vinkeln x, lika med Cos (x). Vi får svaret: y "= 3 · Cos (x) -O. Detta derivat är i sin tur också en elementär funktion y = 3 · Cos (x).
Sinederivat i kvadrat av alla argument
Vid utvärdering av detta uttryck (Sin2(x)) 'det är nödvändigt att komma ihåg hur en komplex funktion differentieras. Så y = synd2(x) - är en kraftfunktion, eftersom sinus är kvadratisk. Dess argument är också en trigonometrisk funktion, komplexa argument. Resultatet i detta fall är lika med produkten, vars första faktor är derivatet av kvadraten för det givna komplexa argumentet, och det andra är derivatet av sinus. Så här ser regeln för att skilja funktion från funktion ut: (u (v (x))) "är lika med (u (v (x)))" · (v (x)) ". Uttryck v (x) är ett komplext argument (intern funktion Om funktionen "spelet är lika med sinuskvadrat x" ges, kommer derivatet av denna komplexa funktion att vara y "= 2 · Sin (x) · Cos (x). I produkten är den första fördubblade faktorn derivatet av en känd effektfunktion, och Cos (x) är derivatet av sinus, argumentet för en komplex kvadratisk funktion. Det slutliga resultatet kan konverteras med den trigonometriska formeln för sinus med dubbel vinkel. Svar: Derivatet är lika med Sin (2 x). Denna formel är lätt att komma ihåg, den används ofta som en tabellformel.
