Дана простейшая функция тригонометрии у = Sin(х), es diferenciable en cada uno de sus puntos del dominio completo de definición. Es necesario demostrar que la derivada del seno de cualquier argumento es igual al coseno del mismo ángulo, es decir, ’= Cos (x).
La prueba se basa en la definición de una función derivada.
Definimos x (arbitrario) en un pequeño vecindario Δx de un punto específico x0. Mostramos el valor de la función en ella y en el punto x para encontrar el incremento de la función dada. Si Δx es el incremento del argumento, entonces el nuevo argumento es x0+ Δx = x, el valor de esta función para un valor dado del argumento y (x) es Sin (x0+ Δx), el valor de la función en un punto específico y (x0) también se conoce.
Ahora tenemos Δy = Sin (x0+ Δx) -Sin (x0) Es el incremento obtenido de la función.
Usando la fórmula sinusoidal, la suma de dos ángulos desiguales transformará la diferencia Δу.
Δy = Sin (x0) Cos (Δx) + Cos (x0) Sin (Δx) menos Sin (x0) = (Cos (Δx) -1) Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (Δх).
Realizamos una permutación de los términos, agrupamos el primero con el tercero Sin (x0), llevó el factor común - seno - entre paréntesis.Recibió en la expresión la diferencia Cos (Δx) -1. Queda por cambiar el letrero delante del soporte y entre paréntesis. Sabiendo lo que es 1-Cos (Δx), haga un reemplazo y obtenga una expresión simplificada Δy, que luego dividimos por Δx.
Δу / Δх tendrá la forma: Cos (x0) Sin (Δx) / Δx-2 Sin2(0.5 · Δх) · Sin (х0) / Δx. Esta es la relación del incremento de la función al incremento permitido del argumento.
Queda por encontrar el límite de la relación lim obtenida por nosotros para Δx, que tiende a cero.
Se sabe que el límite Sin (Δx) / Δx es 1, bajo esta condición. Y la expresión 2 · Pecado2(0,5·Δх)/Δх в полученном частном подведем transformaciones al producto que contiene el primer límite notable como factor: dividimos el numerador y el negativo de la fracción por 2, reemplazamos el cuadrado del seno con el producto. Así:
(Sin (0.5 · Δx) / (0.5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
El límite de esta expresión para Δx que tiende a cero será igual a cero (1 veces 0). Resulta que el límite de la relación Δy / Δх es Cos (x0) · 1-0, esto es Cos (x0), una expresión que no depende de Δx, que tiende a 0. Por lo tanto, la conclusión es la siguiente: la derivada del seno de cualquier ángulo x es igual al coseno de x, lo escribimos así: y ’= Cos (x).
La fórmula resultante se ingresa en la conocida tabla de derivados, donde se recopilan todas las funciones elementales
Al resolver problemas donde ocurre la derivadaSin embargo, puede usar las reglas de diferenciación y las fórmulas preparadas de la tabla. Por ejemplo: encuentre la derivada de la función más simple y = 3 · Sin (x) -15. Utilizamos las reglas elementales de diferenciación, la eliminación del factor numérico por el signo de la derivada y el cálculo de la derivada de un número constante (es igual a cero). Aplicamos el valor tabular de la derivada del seno del ángulo x, igual a Cos (x). Obtenemos la respuesta: y "= 3 · Cos (x) -O. Esta derivada, a su vez, también es una función elemental y = 3 · Cos (x).
La derivada del seno cuadrado de cualquier argumento
Al evaluar esta expresión (Sin2(x)) "es necesario recordar cómo se diferencia una función compleja. Entonces y = pecado2(x) - es una función de potencia, ya que el seno es cuadrado. Su argumento también es una función trigonométrica, argumento difícilEl resultado en este caso es igual al producto, cuyo primer factor es la derivada del cuadrado del argumento complejo dado, y el segundo es la derivada del seno. Aquí está la regla para diferenciar una función de una función: (u (v (x))) "es igual a (u (v (x)))" · (v (x)) ". La expresión v (x) es un argumento complejo (función interna Si se da la función "el juego es igual al seno cuadrado x", entonces la derivada de esta función compleja será "= 2 · Sin (x) · Cos (x). En el producto, el primer factor doble es la derivada de la función de potencia conocida, y Cos (x) es la derivada del seno, el argumento de una función cuadrática compleja. El resultado final se puede transformar utilizando la fórmula seno trigonométrica del doble ángulo. Respuesta: la derivada es igual a Sin (2 · x). Esta fórmula es fácil de recordar, a menudo se usa como tabla.
