La derivada de alguna función f (x) en un determinadoel punto x0 es el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, siempre que x siga a 0 y exista el límite. La derivada suele denotarse mediante un trazo, a veces con un punto o mediante un diferencial. A menudo, el registro de un derivado a través del borde es engañoso, ya que rara vez se utiliza una representación de este tipo.
Una función que tiene un derivado en un determinadoEl punto x0 se suele llamar diferenciable en ese punto. Supongamos que D1 es el conjunto de puntos en los que se diferencia la función f. Al asignar el número x que pertenece a D f ’(x) a cada número, obtenemos una función con el área de designación D1. Esta función es una derivada de y = f (x). Se designa como sigue: f ’(x).
Además, el derivado se usa ampliamente enfísica y tecnología. Considere el ejemplo más simple. El punto material se mueve a lo largo de la coordenada recta, y se especifica la ley de movimiento, es decir, la coordenada x de este punto es la función conocida x (t). Durante el intervalo de tiempo de t0 a t0 + t, el movimiento del punto es x (t0 + t) -x (t0) = x, y su velocidad promedio v (t) es x / t.
Иногда характер движения представлен так, что при durante pequeños períodos de tiempo, la velocidad promedio no cambia, lo que significa que el movimiento con un mayor grado de precisión se considera uniforme. O el valor de la velocidad promedio, si t0 sigue a un valor absolutamente exacto, que se llama la velocidad instantánea v (t0) de este punto en un momento particular en el tiempo t0. Se cree que la velocidad instantánea v (t) se conoce para cualquier función diferenciada x (t), y v (t) será igual a x '(t). En pocas palabras, la velocidad es una derivada de una coordenada de tiempo.
La velocidad instantánea tiene tanto positivo comovalores negativos, así como 0. Si es positivo en un cierto intervalo de tiempo (t1; t2), entonces el punto se mueve en la misma dirección, es decir, la coordenada x (t) aumenta con el tiempo, y si v (t) es negativo, entonces la coordenada x (t) disminuye.
En casos más complejos, el punto se mueve en un plano o en el espacio. Entonces la velocidad es una cantidad vectorial y determina cada una de las coordenadas del vector v (t).
Del mismo modo, se puede comparar con la aceleraciónPunto de movimiento. La velocidad es una función del tiempo, es decir, v = v (t). Y la derivada de tal función es la aceleración del movimiento: a = v ’(t). Es decir, resulta que la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es una aceleración.
Supongamos que y = f (x) - cualquier diferenciadafunción Entonces podemos considerar el movimiento del punto material a lo largo de la línea de coordenadas, que ocurre detrás de la ley x = f (t). El contenido mecánico de la derivada permite presentar una interpretación visual de los teoremas de cálculo diferencial.
¿Cómo encontrar una derivada? Encontrar la derivada de alguna función se llama diferenciación.
Aquí hay algunos ejemplos de cómo encontrar la función derivada:
La derivada de una función constante es cero; la derivada de la función y = x es igual a uno.
¿Y cómo encontrar una derivada de una fracción? Para hacer esto, considere el siguiente material:
Para cualquier x0 <> 0, tenemos
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Hay varias reglas para encontrar una derivada. A saber:
Si las funciones A y B se diferencian en el punto x0,entonces su suma se diferencia en: (A + B) "= A" + B ". En pocas palabras, la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas. Si la función se diferencia en algún momento, su crecimiento sigue a cero cuando el argumento crece a cero.
Si las funciones A y B se diferencian en el punto x0,entonces su producto se diferencia en: (A * B) ’= A’B + AB’. (Los valores de las funciones y sus derivadas se calculan en el punto x0). Si la función A (x) se diferencia en el punto x0, y C es constante, entonces la función CA se diferencia en este punto y (CA) "= CA". Es decir, dicho factor constante se saca del signo derivado.
Si las funciones A y B se diferencian en el punto x0, y la función B no es igual a cero, entonces su relación también se diferencia en el punto: (A / B) ’= (A’B-AB’) / B * B.
