Función continua

Una función continua es una funciónsin "saltos", es decir, para los que se cumple la condición: pequeños cambios en el argumento son seguidos por pequeños cambios en los valores correspondientes de la función. El gráfico de dicha función es una curva suave o continua.

Непрерывность в точке, предельной для некоторого los conjuntos se pueden definir con la ayuda del concepto de un límite, a saber: una función debe tener un límite en este punto, que es igual a su valor en el punto límite.

Si estas condiciones son violadas en algún momento,decir que una función en un punto dado sufre una discontinuidad, es decir, se viola su continuidad. En el lenguaje de los límites, el punto de discontinuidad se puede describir como una falta de coincidencia del valor de una función en un punto discontinuo con el límite de una función (si existe).

El punto de discontinuidad se puede eliminar, para estoEs necesario tener el límite de una función, pero no coincide con su valor en un punto dado. En este caso, se puede "corregir" en este punto, es decir, se puede extender a la continuidad.
Se forma una imagen completamente diferente si el límite de la función en un punto dado no existe. Hay dos variantes posibles de puntos de ruptura:

• del primer tipo: ambos límites unilaterales existen y son finitos, y el valor de uno de ellos o ambos no coincide con el valor de la función en un punto dado;
• segundo tipo, cuando uno o ambos límites unilaterales no existen o sus valores son infinitos.

Propiedades de funciones continuas

• La función obtenida en el resultado de operaciones aritméticas, así como la superposición de funciones continuas en su dominio de definición, también es continua.
• Si se da una función continua que es positiva en algún punto, entonces siempre es posible encontrar un vecindario lo suficientemente pequeño en el que conserva su signo.
• Del mismo modo, si sus valores en dos puntos A y Bson respectivamente ayb, y a es diferente de b, luego para los puntos intermedios toma todos los valores del intervalo (a; b). A partir de aquí, podemos sacar una conclusión interesante: si le damos una banda de goma estirada para que se contraiga, de modo que no se combe (se mantenga recta), entonces uno de sus puntos permanecerá fijo. Y geométricamente esto significa que hay una línea recta que pasa por cualquier punto intermedio entre A y B que interseca la gráfica de la función.

Observamos algunas de las funciones elementales continuas (en el dominio de su definición):

• constante;
• racional
• trigonométrico

Entre dos conceptos fundamentales enMatemáticas: continuidad y diferenciabilidad: existe un vínculo inextricable. Basta recordar que, para diferenciar una función, es necesario que sea una función continua.

Si la función es diferenciable en algún punto, entonces es continua. Sin embargo, no es necesario que su derivada sea continua tampoco.

Una función que tiene en algún conjuntoderivada continua, pertenece a una clase separada de funciones suaves. En otras palabras, esta es una función continuamente diferenciable. Si la derivada tiene un número limitado de puntos de corte (solo del primer tipo), entonces una función similar se llama por partes lisas.

Otro concepto importante de análisis matemáticoes la continuidad uniforme de la función, es decir, su capacidad de ser igualmente continua en cualquier punto de su dominio de definición. Por lo tanto, esta propiedad se considera en el conjunto de puntos, y no en uno tomado por separado.

Si arreglas el punto, no lo conseguirásOtro, como la definición de continuidad, es decir, la existencia de una continuidad uniforme implica que tenemos una función continua por delante de nosotros. En términos generales, lo contrario no es verdad. Sin embargo, de acuerdo con el teorema de Cantor, si una función es continua en un compactum, es decir, en un intervalo cerrado, entonces es uniformemente continua en él.