Ce este probabilitatea condiționată și cum se calculează corect?

De multe ori în viață ne confruntăm cu ceea ce este necesarevaluează șansele apariției unui eveniment. Indiferent dacă merită sau nu să cumpărați un bilet de loterie, care va fi genul celui de-al treilea copil din familie, dacă vremea va fi senină mâine sau va ploua din nou - există nenumărate exemple. În cel mai simplu caz, numărul rezultatelor favorabile ar trebui împărțit la numărul total de evenimente. Dacă există 10 bilete câștigătoare la loterie și sunt 50 în total, atunci șansele de a obține un premiu sunt 10/50 = 0,2, adică 20 contra 100. Dar ce să faci dacă sunt mai multe evenimente, și sunt strâns legate? În acest caz, nu vom mai fi interesați de probabilitatea simplă, ci condiționată. Ce este această valoare și cum poate fi calculată - aceasta va fi exact ceea ce va fi discutat în articolul nostru.

Conceptul de

Probabilitatea condiționată este șansele unei aparițiiun eveniment specific, cu condiția să fi avut loc deja un alt eveniment conex. Să luăm un exemplu simplu de aruncare a unei monede. Dacă nu a fost încă o remiză, șansele de a obține capete sau cozi vor fi aceleași. Dar dacă de cinci ori la rând moneda a căzut cu stema în sus, atunci sunt de acord să ne așteptăm la a 6-a, a 7-a și cu atât mai mult a 10-a repetare a unui astfel de rezultat va fi ilogică. Cu fiecare lovitură repetată a unui cap, șansele ca cozile să apară cresc și mai devreme sau mai târziu vor apărea.

Formula probabilității condiționate

Să ne dăm seama acum cum este această valoarecalculat. Să notăm primul eveniment cu B, iar al doilea cu A. Dacă șansele apariției lui B sunt diferite de zero, atunci următoarea egalitate va fi adevărată:

P (A | B) = P (AB) / P (B), unde:

• P (A | B) este probabilitatea condiționată a rezultatului A;
• P (AB) - probabilitatea apariției comune a evenimentelor A și B;
• P (B) este probabilitatea evenimentului B.

Transformând ușor acest raport, obținem P (AB) = P (A | B) * P (B). Și dacă aplicăm metoda de inducție, atunci putem obține o formulă de produs și o putem folosi pentru un număr arbitrar de evenimente:

P (A₁, ȘI₂, ȘI₃,…ȘI_n) = P (A₁| A₂…ȘI_n) * P (A₂| A₃…ȘI_n) * P (A₃| A₄…ȘI_n) ... P (A_n-1| A_n) * P (A_n).

practică

Pentru a face mai ușor să vă dați seama cumprobabilitatea condițională a unui eveniment este calculată, ia în considerare câteva exemple. Să presupunem că aveți o vază care conține 8 bomboane de ciocolată și 7 bomboane de mentă. Au aceeași dimensiune și două dintre ele sunt scoase la întâmplare secvențial. Care sunt șansele ca amândoi să se dovedească a fi ciocolată? Să introducem notația. Fie că totalul A înseamnă că prima bomboană este ciocolată, iar B totală - a doua bomboană. Apoi, veți obține următoarele:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Să analizăm încă un caz. Să presupunem că există o familie cu doi copii și știm că cel puțin un copil este o fată.

Care este probabilitatea condițională pe care o au băiețiiacesti parinti nu sunt inca? Ca și în cazul precedent, să începem cu notația. Fie P (B) - probabilitatea ca în familie să existe cel puțin o fată, P (A | B) - probabilitatea ca al doilea copil să fie și o fată, P (AB) - șansele ca există două fete în familia. Acum să facem calculele. În total, pot exista 4 combinații diferite de genul copiilor și, într-un singur caz (când sunt doi băieți în familie), nu va exista nici o fată printre copii. Prin urmare, probabilitatea P (B) = 3/4 și P (AB) = 1/4. Apoi, urmând formula noastră, obținem:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Puteți interpreta rezultatul astfel:dacă nu am ști despre sexul unuia dintre copii, șansele ca două fete să fie de 25 la 100. Dar, din moment ce știm că un copil este o fată, probabilitatea ca nu există băieți în familie crește la unul. -al treilea.