Teoria probabilității de învățare începe cu rezolvareaprobleme privind adunarea și multiplicarea probabilităților. Este demn de menționat imediat că un student care stăpânește această zonă a cunoașterii se poate confrunta cu o problemă: dacă procesele fizice sau chimice pot fi vizualizate și înțelese empiric, atunci nivelul de abstractizare matematică este foarte ridicat, iar înțelegerea aici vine doar cu experienţă.
Cu toate acestea, jocul merită lumânarea, deoarece formulele - atât luate în considerare în acest articol, cât și cele mai complexe - sunt folosite pretutindeni astăzi și pot fi utile în muncă.
În mod ciudat, impulsul dezvoltării acestui lucruramurile matematicii au devenit ... jocuri de noroc. Într-adevăr, zarurile, aruncarea de monede, pokerul, ruleta sunt exemple tipice care utilizează adunarea și multiplicarea probabilităților. Pe exemplul sarcinilor din orice manual, acest lucru poate fi văzut clar. Oamenii erau interesați să învețe cum să își mărească șansele de a câștiga și trebuie să spun că unii au reușit.
Cu toate acestea, în ciuda interesului crescut pentrusubiect, doar până în secolul XX a fost dezvoltată o bază teoretică, făcând din „teoretic” o componentă deplină a matematicii. Astăzi, în aproape orice știință, puteți găsi calcule folosind metode probabilistice.
Un punct important atunci când se utilizează formule de adăugareși multiplicarea probabilităților, probabilitatea condițională este satisfacerea teoremei limitei centrale. În caz contrar, deși studentul poate să nu fie conștient de acest lucru, toate calculele, oricât de plauzibile ar părea, vor fi incorecte.
Da, un student extrem de motivat este tentat să folosească noi cunoștințe cu fiecare ocazie. Dar, în acest caz, ar trebui să încetiniți puțin și să conturați strict domeniul de aplicare.
Teoria probabilității se ocupă de întâmplareevenimente care, în termeni empirici, reprezintă rezultatele experimentelor: putem arunca o matriță cu șase fețe, putem scoate o carte dintr-o punte, putem prezice numărul de piese defecte dintr-un lot. Cu toate acestea, în unele întrebări, este categoric imposibil să se utilizeze formule din această secțiune a matematicii. Vom discuta despre trăsăturile luării în considerare a probabilităților unui eveniment, teoremele adunării și multiplicării evenimentelor la sfârșitul articolului, dar deocamdată vom trece la exemple.
Un eveniment întâmplător înseamnă uneleun proces sau un rezultat care poate sau nu să apară ca urmare a unui experiment. De exemplu, aruncăm un sandviș - poate cădea ulei în sus sau ulei în jos. Oricare dintre cele două rezultate va fi aleatoriu și nu știm în prealabil care dintre ele va avea loc.
Astfel de evenimente se numesc comune, aparițiadintre care unul nu exclude aspectul celuilalt. Să presupunem că două persoane trag în același timp asupra unei ținte. Dacă unul dintre ei face o lovitură reușită, acest lucru nu va afecta capacitatea celui de-al doilea de a lovi cu ochii de taur sau de a rata.
Incompatibile vor fi astfel de evenimente, a căror apariție este imposibilă în același timp. De exemplu, scoțând o singură minge din cutie, nu puteți obține atât albastru, cât și roșu simultan.
Noțiunea de probabilitate este notată de litera latină cu majuscule P. Mai departe între paranteze sunt argumente care denotă unele evenimente.
În formulele teoremei adunării, condiționalprobabilități, teoreme de înmulțire, veți vedea expresii între paranteze, de exemplu: A + B, AB sau A | B. Ele vor fi calculate în diferite moduri, acum ne vom întoarce la ele.
Să luăm în considerare cazurile în care sunt utilizate formulele pentru adunarea și multiplicarea probabilităților.
Pentru evenimente incoerente, cea mai simplă formulă de adiție este relevantă: probabilitatea oricăruia dintre rezultatele aleatorii va fi egală cu suma probabilităților fiecăruia dintre aceste rezultate.
În cazul evenimentelor inconsistente, formula devine mai complicată, deoarece se adaugă un termen suplimentar. Să revenim la el într-un paragraf, după ce am analizat o altă formulă.
Adunarea și multiplicarea probabilităților de independențăevenimentele sunt utilizate în diferite cazuri. Dacă, conform condițiilor experimentului, suntem mulțumiți de oricare dintre cele două rezultate posibile, vom calcula suma; dacă vrem să obținem două rezultate, unul după altul, vom recurge la utilizarea unei formule diferite.
Revenind la exemplul din secțiunea anterioară, noivrem să scoatem mai întâi mingea albastră, apoi cea roșie. Primul număr pe care îl știm este 2/10. Ce se întâmplă în continuare? Au mai rămas 9 bile, mai sunt tot atâtea roșii - trei piese. Conform calculelor, se va dovedi a fi 3/9 sau 1/3. Dar acum ce să faci cu două numere? Răspunsul corect este să vă înmulțiți pentru a obține 2/30.
Acum puteți reveni la formula sumă pentru evenimente comune. De ce am deviat de la subiect? Pentru a afla cum se înmulțesc probabilitățile. Acum aceste cunoștințe ne vor fi utile.
Să presupunem că trebuie să rezolvăm oricare dintre cele două probleme,pentru a obține credit. Primul îl putem rezolva cu o probabilitate de 0,3, iar al doilea - 0,6. Soluție: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Rețineți că doar însumarea numerelor nu va fi suficientă aici.
În cele din urmă, există conceptul de probabilitate condițională,ale căror argumente sunt indicate între paranteze și separate printr-o țeavă. Înregistrarea P (A | B) citește după cum urmează: "probabilitatea evenimentului A dat evenimentului B".
Să vedem un exemplu:un prieten îți dă un dispozitiv, lasă-l să fie un telefon. Poate fi rupt (20%) sau reparabil (80%). Puteți repara orice dispozitiv care a căzut în mâinile dvs. cu o probabilitate de 0,4 sau nu puteți face acest lucru (0,6). În cele din urmă, dacă dispozitivul este în stare de funcționare, puteți ajunge la persoana potrivită cu o probabilitate de 0,7.
Este ușor de văzut cum se manifestă în acest caz.probabilitate condiționată: nu veți putea ajunge la o persoană dacă telefonul este rupt și, dacă este reparabil, nu trebuie să îl remediați. Astfel, pentru a obține rezultate la „al doilea nivel”, trebuie să aflați ce eveniment a fost executat pe primul.
Să luăm în considerare exemple de rezolvare a problemelor legate de adunarea și multiplicarea probabilităților, folosind datele din paragraful anterior.
În primul rând, să găsim probabilitatea ca tureparați dispozitivul care vi s-a dat. Pentru a face acest lucru, în primul rând, trebuie să fie defect și, în al doilea rând, trebuie să faceți față reparației. Aceasta este o problemă tipică de multiplicare: obținem 0,2 * 0,4 = 0,08.
În cele din urmă, luați în considerare această opțiune:ai primit un telefon spart, l-ai remediat, apoi ai format numărul și cealaltă persoană a ridicat telefonul. Aici este deja necesară înmulțirea a trei componente: 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056.
Și ce să faceți dacă aveți doi care nu funcționează simultantelefon? Cât de probabil sunteți să remediați cel puțin una dintre ele? Aceasta este o problemă de adăugare și multiplicare a probabilităților, deoarece sunt utilizate evenimente comune. Soluție: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Astfel, dacă puneți mâna pe două dispozitive sparte, îl veți putea repara 64% din timp.
După cum sa menționat la începutul articolului, utilizarea teoriei probabilității ar trebui să fie deliberată și deliberată.
Cu cât seria de experimente este mai mare, cu atât mai aproapevaloarea teoretic previzionată se potrivește cu cea obținută în practică. De exemplu, aruncăm o monedă. Teoretic, știind despre existența formulelor pentru adunarea și multiplicarea probabilităților, putem prezice de câte ori vor ieși „capete” și „cozi” dacă vom efectua experimentul de 10 ori. Am efectuat un experiment și, prin coincidență, raportul părților a scăzut a fost de 3 la 7. Dar dacă executăm o serie de 100, 1000 sau mai multe încercări, se dovedește că graficul de distribuție se apropie de cel teoretic: 44 la 56, 482 la 518 și așa mai departe.
Astfel, dacă vă referiți lanecunoscutul, zona neexplorată, teoria probabilității poate să nu fie aplicabilă. Fiecare încercare ulterioară în acest caz poate avea succes și generalizări precum „X nu există” sau „X este imposibil” vor fi premature.
Deci, am luat în considerare două tipuri de adunări, multiplicareași probabilități condiționale. Pe măsură ce explorați mai departe această zonă, trebuie să învățați să faceți distincția între situațiile în care este utilizată fiecare formulă specifică. În plus, trebuie să înțelegeți dacă metodele probabilistice sunt, în general, aplicabile pentru rezolvarea problemei.
