Metoda simplă de iterație, numită și metodăaproximarea succesivă este un algoritm matematic pentru găsirea valorii unei mărimi necunoscute prin rafinarea sa treptată. Esența acestei metode este că, așa cum sugerează și numele, exprimând treptat cele ulterioare din aproximarea inițială, se obțin rezultate din ce în ce mai rafinate. Această metodă este utilizată pentru a găsi valoarea unei variabile într-o funcție dată, precum și la rezolvarea sistemelor de ecuații, atât liniare, cât și neliniare.
Să luăm în considerare modul în care această metodă este implementată atunci când rezolvăm un SLAE. Metoda simplă de iterație are următorul algoritm:
1.Verificarea îndeplinirii condiției de convergență în matricea originală. Teorema convergenței: dacă matricea inițială a sistemului are o dominanță diagonală (adică, în fiecare rând, elementele diagonalei principale trebuie să fie mai mari în modul decât suma elementelor diagonalei secundare modulo), atunci metoda simplă iterațiile sunt convergente.
2.Matricea sistemului original nu are întotdeauna o dominanță diagonală. În astfel de cazuri, sistemul poate fi convertit. Ecuațiile care satisfac condiția de convergență sunt lăsate intacte, iar cu cele care nu satisfac, formează combinații liniare, adică înmulțiți, scădeți, adăugați ecuațiile împreună până când se obține rezultatul dorit.
Dacă în sistemul rezultat pe diagonala principală există coeficienți incomode, atunci termenii formei cuși* Xeu, ale căror semne trebuie să coincidă cu semnele elementelor diagonale.
3. Conversia sistemului rezultat în forma sa normală:
cu-= β-+ α * x-
Acest lucru se poate face în multe moduri, de exemplu, astfel: din prima ecuație, exprimați x1 prin alte necunoscute, din a doua - x2, din al treilea - x3 etc. În acest caz, folosim formulele:
αij= - (aij / Aii)
și= bși/ Aii
Ar trebui să se verifice din nou că sistemul rezultat de formă normală îndeplinește condiția de convergență:
∑ (j = 1) | αij| ≤ 1, în timp ce i = 1,2, ... n
4. Începem să aplicăm, de fapt, însăși metoda aproximărilor succesive.
cu(0)este aproximarea inițială, exprimăm prin ea x(1), apoi prin x(1) exprimă x(2)... Formula generală sub formă de matrice arată astfel:
cu(n)= β-+ α * x(n-1)
Calculăm până ajungem la precizia necesară:
max | xși(k) -xși(k + 1) ≤ ε
Deci, să punem în practică metoda simplă de iterație. Exemplu:
Rezolvați SLAE:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 cu precizie ε = 10-3
Să vedem dacă elementele diagonale predomină în modul.
Vedem că doar a treia ecuație satisface condiția de convergență. Transformăm prima și a doua, adăugăm a doua la prima ecuație:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
Scade primul din al treilea:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Am convertit sistemul original într-unul echivalent:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4
Acum, să readucem sistemul la normal:
x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Verificarea convergenței procesului iterativ:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, adică condiția este îndeplinită.
0,3947
Aproximare inițială x(0) = 0,4762
0,8511
Înlocuind aceste valori în ecuația de formă normală, obținem următoarele valori:
0,08835
cu(1)= 0,486793
0,446639
Înlocuind noi valori, obținem:
0,215243
cu(2)= 0,405396
0,558336
Continuăm calculele până când ne apropiem de valorile care îndeplinesc condiția dată.
0,18813
cu(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
cu(opt) = 0,44164
0,544428
Să verificăm corectitudinea rezultatelor obținute:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Rezultatele obținute prin înlocuirea valorilor găsite în ecuațiile originale îndeplinesc pe deplin condițiile ecuației.
După cum putem vedea, metoda simplă de iterație oferă rezultate destul de precise, dar a trebuit să petrecem mult timp și calcule greoaie pentru a rezolva această ecuație.
