Înapoi la școală, fiecare dintre noi a studiat ecuații și,probabil un sistem de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe modalități de a le rezolva. Astăzi vom analiza în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare, care constă în mai mult de două egalități.
Astăzi se știe că artapentru a rezolva ecuațiile și sistemele lor provenite din Babilonul și Egiptul antic. Cu toate acestea, egalitățile în forma lor obișnuită au apărut după apariția semnului egal „=”, care a fost introdus în 1556 de către matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente egale paralele. Într-adevăr, nu există un exemplu mai bun de egalitate.
Fondatorul alfabetului modernnotația și semnele de grad necunoscute este matematicianul francez François Viet. Cu toate acestea, denumirile sale au fost semnificativ diferite de cele de astăzi. De exemplu, el a notat pătratul unui număr necunoscut cu litera Q (latină "quadratus"), iar cubul cu litera C (latina "cubus"). Această notație pare acum incomodă, dar atunci a fost cea mai ușoară modalitate de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.
Cu toate acestea, dezavantajul în metodele de rezolvare de atuncia fost că matematicienii au considerat doar rădăcini pozitive. Poate că acest lucru se datorează faptului că valorile negative nu au avut niciun folos practic. Într-un fel sau altul, matematicienii italieni Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano și Rafael Bombelli au fost primii care au luat în considerare rădăcinile negative în secolul al XVI-lea. Și forma modernă, principala metodă de rezolvare a ecuațiilor pătratice (prin discriminant) a fost creată abia în secolul al XVII-lea datorită lucrărilor lui Descartes și Newton.
Matematicianul elvețian Gabriel de la mijlocul secolului al XVIII-leaKramer a găsit o nouă modalitate de a facilita rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Această metodă a fost numită ulterior după el și până în prezent o folosim. Dar vom vorbi despre metoda lui Cramer puțin mai târziu, dar deocamdată vom discuta despre ecuații liniare și metode pentru soluționarea lor separat de sistem.
Ecuațiile liniare sunt cele mai simple egalități cu o variabilă (variabile). Sunt clasificate ca algebrice. Ecuațiile liniare sunt scrise în formă generală după cum urmează: a1* X1+ a2 *cu2+ ... an* Xn= b. Vom avea nevoie de reprezentarea lor în această formă atunci când vom compila sisteme și matrici în continuare.
Definiția acestui termen este după cum urmează:este o colecție de ecuații care au necunoscute comune și o soluție comună. De regulă, în școală toată lumea era rezolvată prin sisteme cu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne dăm seama mai întâi cum să le notăm, astfel încât să fie convenabil de rezolvat în viitor. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1,2,3 și așa mai departe. În al doilea rând, toate ecuațiile ar trebui reduse la forma canonică: a1* X1+ a2 *cu2+ ... an* Xn= b.
După toți acești pași, putem începe să spunem cum să găsim o soluție la sistemele de ecuații liniare. Matricile sunt foarte utile pentru aceasta.
Matrix este un tabel care constă din rânduri șicoloane, iar la intersecția lor sunt elementele sale. Acestea pot fi fie valori specifice, fie variabile. Cel mai adesea, pentru a desemna elemente, sunt plasate subindice (de exemplu, a11 sau a23). Primul index este numărul rândului și al doilea este coloana. Se pot efectua diverse operații pe matrice, precum și pe orice alt element matematic. Astfel, puteți:
1) Scădeți și adăugați tabele de aceeași dimensiune.
2) Înmulțiți matricea cu orice număr sau vector.
3) Transpuneți: transformați rândurile matricei în coloane, iar coloanele în rânduri.
4) Înmulțiți matricile dacă numărul de rânduri al unuia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celuilalt.
Vom discuta toate aceste tehnici mai detaliat, deoarece acesteane va fi de folos în viitor. Scăderea și adăugarea matricilor este foarte simplă. Deoarece luăm matrici de aceeași dimensiune, fiecare element al unui tabel corespunde fiecărui element al celuilalt. Astfel, adăugăm (scădem) aceste două elemente (este important să stea în aceleași locuri în matricile lor). Când înmulțiți o matrice cu un număr sau un vector, trebuie doar să înmulțiți fiecare element al matricei cu acel număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. Uneori este foarte interesant să-l vezi în viața reală, de exemplu, când schimbi orientarea unei tablete sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop sunt o matrice, iar când schimbați poziția, aceasta este transpusă și devine mai largă, dar scade în înălțime.
Să analizăm, de asemenea, un astfel de proces ca multiplicarea matricei.Deși nu ne va fi de folos, va fi totuși util să o cunoaștem. Puteți înmulți două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri din celălalt. Acum să luăm elementele unui rând dintr-o matrice și elementele coloanei corespunzătoare a alteia. Le înmulțim între ele și apoi le adăugăm (adică, de exemplu, produsul elementelor a11 și a12 pe b12 și b22 va fi egal cu: a11* b12 + a12* b22). Astfel, se obține un element al tabelului și, în mod similar, este completat în continuare.
Acum putem începe să luăm în considerare modul în care sistemul de ecuații liniare este rezolvat.
Acest subiect începe să aibă loc la școală. Suntem bine conștienți de conceptul unui „sistem de două ecuații liniare” și suntem capabili să le rezolvăm. Dar dacă numărul ecuațiilor este mai mare de două? Metoda Gauss ne va ajuta în acest sens.
Desigur, această metodă este convenabilă de utilizat dacă creați o matrice din sistem. Dar nu îl puteți transforma și rezolva în cea mai pură formă.
Deci, cum este sistemul liniarEcuații Gauss? Apropo, deși această metodă poartă numele său, a fost descoperită în antichitate. Gauss propune următoarele: să efectueze operații cu ecuații pentru a reduce în cele din urmă întregul set la o formă treptată. Adică, este necesar ca de sus în jos (dacă este plasat corect) de la prima ecuație la ultima să scadă într-o necunoscută. Cu alte cuvinte, trebuie să ne asigurăm că obținem, să zicem, trei ecuații: în prima - trei necunoscute, în a doua - două, în a treia - una. Apoi din ultima ecuație găsim prima necunoscută, înlocuim valoarea acesteia cu a doua sau prima ecuație și apoi găsim restul de două variabile.
Pentru a stăpâni această metodă, este vitalposedă abilitățile de adunare, scădere a matricelor și trebuie, de asemenea, să poți găsi determinanți. Prin urmare, dacă nu faci toate acestea bine sau nu știi deloc cum, va trebui să înveți și să exersezi.
Care este esența acestei metode și cum să o faceți astfel încâta obținut un sistem de ecuații liniare Kramer? Totul este foarte simplu. Trebuie să construim o matrice din coeficienții numerici (aproape întotdeauna) ai unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, luăm pur și simplu numerele în fața necunoscutelor și le plasăm în tabel în ordinea în care sunt scrise în sistem. Dacă există un semn "-" în fața numărului, atunci notați un coeficient negativ. Deci, am compilat prima matrice a coeficienților pentru necunoscute, fără a include numerele după semnele egale (în mod firesc, ecuația ar trebui redusă la forma canonică, atunci când doar un număr este în dreapta și toate necunoscutele cu coeficienți sunt în stânga). Apoi, trebuie să creați mai multe matrice - una pentru fiecare variabilă. Pentru a face acest lucru, în prima matrice, la rândul său, înlocuiți fiecare coloană cu coeficienții cu coloana numerelor după semnul egal. Astfel, obținem mai multe matrice și apoi le găsim determinanții.
După ce am găsit calificările, este cazulmic. Avem o matrice inițială și există mai multe matrici rezultate care corespund variabilelor diferite. Pentru a obține soluții de sistem, împărțim determinantul tabelului rezultat la determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.
Există mai multe metode pentruobțineți o soluție la sistemele de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este utilizată pentru a găsi soluții la un sistem de ecuații pătratice și este, de asemenea, asociată cu utilizarea matricelor. Există, de asemenea, o metodă Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai ușor de adaptat la un computer și este utilizat în calcul.
Dificultatea apare de obicei dacă numărul de ecuațiimai puține variabile. Atunci putem spune cu siguranță că fie sistemul este incompatibil (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să notăm soluția generală a unui sistem de ecuații liniare. Va conține cel puțin o variabilă.
Aici ajungem la sfârșit.Pentru a rezuma: am analizat ce sunt un sistem și o matrice, am învățat cum să găsim o soluție generală la un sistem de ecuații liniare. În plus, au fost luate în considerare și alte opțiuni. Am aflat cum este rezolvat sistemul de ecuații liniare: metoda Gauss și metoda Cramer. Am vorbit despre cazuri dificile și despre alte modalități de a găsi soluții.
De fapt, acest subiect este mult mai extins și, dacă doriți să îl înțelegeți mai bine, atunci vă sfătuim să citiți literatură mai specializată.
