พร้อมกับอนุพันธ์ หน้าที่ของพวกเขา ดิฟเฟอเรนเชียลคือ หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส ส่วนหลักของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออก ทั้งสองถูกใช้อย่างแข็งขันมาหลายศตวรรษในการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดที่เกิดขึ้นในกระบวนการกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิคของมนุษย์
อธิบายเป็นครั้งแรกว่าดิฟเฟอเรนเชียลคืออะไรหนึ่งของผู้ก่อตั้ง (พร้อมกับไอแซก นิวตัน) ของดิฟเฟอเรนเชียล แคลคูลัส นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวเยอรมัน กอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบนิซ ก่อนหน้านั้นนักคณิตศาสตร์ของศิลปะข้อที่ 17 ใช้แนวคิดที่คลุมเครือและคลุมเครือมากของส่วนเล็ก ๆ ที่ "แบ่งแยกไม่ได้" ของฟังก์ชันที่รู้จักซึ่งแสดงถึงค่าคงที่ที่เล็กมาก แต่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งน้อยกว่าค่าของฟังก์ชันก็ไม่สามารถเป็นได้ จากที่นี่ มีเพียงขั้นตอนเดียวในการแนะนำแนวคิดของการเพิ่มขึ้นทีละน้อยอย่างไม่สิ้นสุดของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันและการเพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันเอง ซึ่งแสดงในแง่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันหลัง และขั้นตอนนี้เกือบพร้อมกันโดยนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่สองคนที่กล่าวถึงข้างต้น
ตามความจำเป็นเร่งด่วนปัญหาเชิงปฏิบัติของกลศาสตร์ซึ่งอุตสาหกรรมและเทคโนโลยีที่กำลังพัฒนาอย่างรวดเร็วก่อให้เกิดวิทยาศาสตร์ นิวตันและไลบนิซสร้างวิธีการทั่วไปในการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของการทำงาน นำไปสู่การแนะนำแนวคิดเช่นอนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันและยังพบอัลกอริธึมในการแก้ปัญหาผกผันวิธีการหาเส้นทางเดินทางจากความเร็วที่รู้จัก (ตัวแปร) ซึ่งนำไปสู่การเกิดขึ้นของแนวคิดของ อินทิกรัล
ในงานเขียนของ Leibniz และ Newton ปรากฏตัวครั้งแรกแนวคิดที่ว่าดิฟเฟอเรนเชียลแปรผันตามสัดส่วนที่เพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δх ซึ่งเป็นส่วนหลักของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δу ซึ่งสามารถนำไปใช้ในการคำนวณค่าของอาร์กิวเมนต์หลังได้สำเร็จ กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกเขาค้นพบว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันสามารถอยู่ที่จุดใดก็ได้ (ภายในขอบเขตของคำจำกัดความ) ซึ่งแสดงในรูปของอนุพันธ์เป็น Δу = y "(x) Δх + αΔх โดยที่ α Δх คือเศษที่เหลือ การทำให้เป็นศูนย์เนื่องจาก Δх → 0 นั้นเร็วกว่าตัว Δx มาก
ตามที่ผู้ก่อตั้ง matanalysisดิฟเฟอเรนเชียลคือเงื่อนไขแรกในนิพจน์สำหรับการเพิ่มของฟังก์ชันใดๆ ยังไม่มีแนวคิดที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนเกี่ยวกับขีดจำกัดของลำดับ พวกเขาเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่าค่าของดิฟเฟอเรนเชียลมีแนวโน้มที่จะอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็น Δх → 0 - Δу / Δх → y "(x)
ต่างจากนิวตันซึ่งโดยหลักแล้วนักฟิสิกส์และถือว่าเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือช่วยในการศึกษาปัญหาทางกายภาพ Leibniz ให้ความสำคัญกับชุดเครื่องมือนี้มากขึ้น ซึ่งรวมถึงระบบการกำหนดปริมาณทางคณิตศาสตร์ที่มองเห็นได้และเข้าใจได้ เขาเป็นคนเสนอสัญกรณ์ที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน dy = y "(x) dx, อาร์กิวเมนต์ dx และอนุพันธ์ของฟังก์ชันในรูปแบบของอัตราส่วน y" (x) = dy / dx
อะไรคือความแตกต่างจากมุมมองของคณิตศาสตร์สมัยใหม่? มันเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของการเพิ่มตัวแปร หากตัวแปร y รับค่า y = y ก่อน1แล้ว y = y2แล้วความแตกต่าง y2 ─ y1 เรียกว่าการเพิ่มขึ้นของ y
ถ้าค่า Δу ของฟังก์ชันตามใจชอบ y = f (x)เป็นไปได้ที่จะแสดงในรูปแบบ Δу = A Δх + α โดยที่ A ไม่ขึ้นอยู่กับ Δх นั่นคือ A = const สำหรับ x ที่กำหนด และระยะ α ที่ Δх → 0 มีแนวโน้มเร็วกว่า Δх เอง จากนั้นเทอมแรก ("หลัก") เป็นสัดส่วนกับ Δх และสำหรับ y = f (x) ดิฟเฟอเรนเชียลที่แสดง dy หรือ df (x) (อ่านว่า “de igrek”, “de eff from x”) ดังนั้น ดิฟเฟอเรนเชียลจึงเป็นองค์ประกอบ "หลัก" ของการเพิ่มฟังก์ชัน ซึ่งเป็นเส้นตรงเมื่อเทียบกับ Δх
ให้ s = f (t) เป็นระยะทางเส้นตรงจุดเคลื่อนย้ายวัสดุจากตำแหน่งเริ่มต้น (t คือเวลาที่ใช้ในทาง) การเพิ่มขึ้น Δs คือเส้นทางของจุดในช่วงเวลา Δt และดิฟเฟอเรนเชียล ds = f "(t) Δt คือเส้นทางที่จุดจะเดินทางพร้อมกัน Δt ถ้ามันรักษาความเร็ว f" (t ) ถึงเมื่อถึงเวลา t ... สำหรับ Δt ที่มีขนาดเล็กอย่างไม่สิ้นสุด เส้นทางจินตภาพ ds จะแตกต่างจาก Δs จริงด้วยค่าที่น้อยมาก ซึ่งมีลำดับที่สูงกว่าเมื่อเทียบกับ Δt หากความเร็ว ณ เวลา t ไม่เป็นศูนย์ ds จะให้ค่าโดยประมาณสำหรับการกระจัดเล็กน้อยของจุด
ให้เส้น L เป็นกราฟของ y = f (x)จากนั้น Δ х = MQ, Δу = QM "(ดูรูปด้านล่าง) เส้นสัมผัส MN แบ่งส่วน Δу ออกเป็นสองส่วน คือ QN และ NM" อันแรกเป็นสัดส่วนกับ Δх และเท่ากับ QN = MQ ∙ tg (มุม QMN) = Δх f "(x) เช่น QN คือค่าไดดิฟเฟอเรนเชียล
ส่วนที่สอง NM "ให้ความแตกต่าง Δу ─ dy ที่ Δх → 0ความยาว NM "ลดลงเร็วกว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ นั่นคือ ลำดับของความเล็กนั้นสูงกว่าค่า Δx ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา สำหรับ f" (x) ≠ 0 (แทนเจนต์ไม่ขนานกับ OX ) เซ็กเมนต์ QM "และ QN เท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง NM "ลดลงเร็วกว่า (ลำดับของความเล็กจะสูงกว่า) กว่าการเพิ่มทั้งหมด Δу = QM" ดังที่เห็นในรูป (ในขณะที่ M "เข้าใกล้ M , ส่วน NM" ประกอบขึ้นเป็นเปอร์เซ็นต์ที่น้อยกว่าของกลุ่ม QM ")
ดังนั้น ในทางกราฟิก ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันตามใจชอบจะเท่ากับการเพิ่มพิกัดของแทนเจนต์
สัมประสิทธิ์ A ในระยะแรกของนิพจน์สำหรับการเพิ่มฟังก์ชันเท่ากับค่าของอนุพันธ์ f "(x) ดังนั้นความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็น - dy = f" (x) Δхหรือ df (x ) = f "(x) Δх.
เป็นที่ทราบกันดีว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์อิสระเท่ากับค่าดิฟเฟอเรนเชียล Δх = dx ดังนั้นคุณสามารถเขียน: f "(x) dx = dy.
การค้นหา (บางครั้งกล่าวว่า "การแก้") ดิฟเฟอเรนเชียลจะดำเนินการตามกฎเดียวกันกับอนุพันธ์ รายการของพวกเขาได้รับด้านล่าง
จำเป็นต้องมีการชี้แจงบางอย่างที่นี่การแทนด้วยปริมาณ f "(x) Δхของดิฟเฟอเรนเชียลเป็นไปได้เมื่อพิจารณา x เป็นอาร์กิวเมนต์ แต่ฟังก์ชันอาจซับซ้อนได้ ซึ่ง x สามารถเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ t ได้ จากนั้นการแทนค่าดิฟเฟอเรนเชียลด้วยนิพจน์ f" (x) Δх ตามกฎแล้วเป็นไปไม่ได้ ยกเว้นกรณีการพึ่งพาเชิงเส้น x = ที่ + b
สำหรับสูตร f "(x) dx = dy ในกรณีของอาร์กิวเมนต์อิสระ х (จากนั้น dx = Δх) และในกรณีของการพึ่งพาพารามิเตอร์ х บน t จะแทนค่าดิฟเฟอเรนเชียล
ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 2 x Δx แทนค่า y = x2 ความแตกต่างของมันเมื่อ x เป็นอาร์กิวเมนต์ ตอนนี้เราใส่ x = t2 และเราจะถือว่า t เป็นอาร์กิวเมนต์ จากนั้น y = x2 = t4.
ตามด้วย (t + Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2... ดังนั้น Δх = 2tΔt + Δt2... หมายถึง: 2xΔx = 2t2 (2tΔt + Δt2 )
นิพจน์นี้ไม่เป็นสัดส่วนกับ Δt ดังนั้นตอนนี้ 2xΔx จึงไม่ใช่ดิฟเฟอเรนเชียล หาได้จากสมการ y = x2 = t4... ปรากฎว่าเท่ากับ dy = 4t3Δt
ถ้าเราใช้นิพจน์ 2xdx มันจะแทนค่าดิฟเฟอเรนเชียล y = x2 สำหรับอาร์กิวเมนต์ใด ๆ แน่นอน สำหรับ x = t2 เราได้ dx = 2tΔt
ดังนั้น 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt นั่นคือ นิพจน์สำหรับดิฟเฟอเรนเชียลที่เขียนในรูปของตัวแปรสองตัวแปรที่แตกต่างกันใกล้เคียงกัน
ถ้า f "(x) ≠ 0 ดังนั้น Δу และ dy มีค่าเท่ากัน (เมื่อ Δх → 0); เมื่อ f" (x) = 0 (ซึ่งหมายถึง dy = 0) จะไม่เท่ากัน
ตัวอย่างเช่น ถ้า y = x2แล้ว Δу = (x + Δх)2 ─ x2= 2xΔx + Δx2และ dy = 2xΔx ถ้า x = 3 เราก็มี Δy = 6Δx + Δx2 และ dy = 6Δх ซึ่งเทียบเท่ากันเนื่องจาก Δх2→ 0 ที่ х = 0 ค่า Δу = Δх2 และ dy = 0 ไม่เท่ากัน
ความจริงข้อนี้ประกอบกับโครงสร้างที่เรียบง่ายดิฟเฟอเรนเชียล (เช่น ลิเนียริตี้เทียบกับ Δx) มักใช้ในการคำนวณโดยประมาณ ภายใต้สมมติฐานว่า Δу ≈ dy สำหรับ Δx เล็กน้อย การหาส่วนต่างของฟังก์ชันมักจะง่ายกว่าการคำนวณค่าจริงของการเพิ่มขึ้น
ตัวอย่างเช่น เรามีลูกบาศก์โลหะที่มีขอบ x = 10.00 ซม. เมื่อถูกความร้อน ขอบจะยาวขึ้น Δх = 0.001 ซม. ปริมาตร V ของลูกบาศก์เพิ่มขึ้นเท่าใด เรามี V = x2ดังนั้น dV = 3x2Δх = 3 ∙ 102∙ 0/01 = 3 (ซม.3). การเพิ่มขึ้นของปริมาตร ΔV เทียบเท่ากับดิฟเฟอเรนเชียล dV ดังนั้น ΔV = 3 cm3... การคำนวณที่สมบูรณ์จะให้ ΔV = 10.013 ─ 103 = 3.003001. แต่ในผลลัพธ์นี้ ตัวเลขทั้งหมดยกเว้นตัวเลขแรกไม่น่าเชื่อถือ ยังไงก็ต้องปัดเศษขึ้นให้ได้ 3 ซม.3.
เห็นได้ชัดว่าวิธีการนี้มีประโยชน์ก็ต่อเมื่อสามารถประมาณขนาดของข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นได้
ลองหาดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน y = x . กัน3โดยไม่ต้องหาอนุพันธ์ ให้เราเพิ่มอาร์กิวเมนต์และกำหนด Δу
Δу = (Δх + x)3 ─ x3 = 3x2Δx + (3xΔx .)2 + Δx3)
ที่นี่สัมประสิทธิ์ A = 3x2 ไม่ขึ้นอยู่กับ Δx เพื่อให้เทอมแรกเป็นสัดส่วนกับ Δx ในขณะที่อีกเทอมคือ 3xΔx2 + Δx3 ที่ Δх → 0 ลดลงเร็วกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นดิ๊ก 3x2Δx คือค่าดิฟเฟอเรนเชียล y = x3:
dy = 3x2Δх = 3x2dx หรือ d (x3) = 3x2ดีเอ็กซ์
นอกจากนี้ d (x3) / dx = 3x2.
ให้เราหา dy ของฟังก์ชัน y = 1 / x ในรูปของอนุพันธ์ จากนั้น d (1 / x) / dx = ─1 / x2... ดังนั้น dy = ─ Δх / х2.
ความแตกต่างของฟังก์ชันพีชคณิตพื้นฐานแสดงไว้ด้านล่าง
การคำนวณฟังก์ชัน f (x) มักจะเป็นเรื่องง่าย เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของ f "(x) สำหรับ x = a แต่ก็ไม่ง่ายที่จะทำเช่นเดียวกันในบริเวณใกล้เคียงกับจุด x = a จากนั้นค่าประมาณ การแสดงออกมาช่วย to
f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a)
มันให้ค่าโดยประมาณของฟังก์ชันโดยเพิ่มขึ้นทีละน้อย Δх ผ่านค่าดิฟเฟอเรนเชียล f "(a) Δх
ดังนั้น สูตรนี้จึงให้ค่าประมาณนิพจน์สำหรับฟังก์ชันที่จุดสิ้นสุดของส่วนหนึ่งของความยาว Δx เป็นผลรวมของค่าที่จุดเริ่มต้นของส่วนนี้ (x = a) และส่วนต่างที่จุดเริ่มต้นเดียวกัน ข้อผิดพลาดของวิธีการกำหนดค่าของฟังก์ชันนี้แสดงไว้ในรูปด้านล่าง
อย่างไรก็ตาม นิพจน์ที่แน่นอนสำหรับค่าของฟังก์ชันสำหรับ x = a + Δх ยังเป็นที่รู้จัก โดยกำหนดโดยสูตรของการเพิ่มขึ้นอย่างจำกัด (หรือโดยสูตรลากรองจ์)
f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),
โดยที่จุด x = a + ξ อยู่บนเซกเมนต์จาก x = aมากถึง x = a + Δх แม้ว่าจะไม่ทราบตำแหน่งที่แน่นอน สูตรที่แน่นอนช่วยให้คุณประเมินข้อผิดพลาดของสูตรโดยประมาณได้ ถ้าเราใส่ ξ = Δx / 2 ลงในสูตรลากรองจ์ แม้ว่าจะไม่แม่นยำ แต่มักจะให้ค่าประมาณที่ดีกว่านิพจน์ดั้งเดิมมากในแง่ของความแตกต่าง
เครื่องมือวัดในหลักการไม่แม่นยำและแนะนำข้อผิดพลาดที่สอดคล้องกันในข้อมูลการวัด พวกเขามีลักษณะโดยข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ จำกัด หรือในระยะสั้นข้อผิดพลาด จำกัด - จำนวนบวกที่เห็นได้ชัดเกินข้อผิดพลาดนี้ในค่าสัมบูรณ์ (หรือในกรณีที่รุนแรงเท่ากับมัน) ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่จำกัดเรียกว่าผลหารของการหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของค่าที่วัดได้
ให้สูตรที่แน่นอน y = f (x) ใช้สำหรับการคำนวณของฟังก์ชัน y แต่ค่าของ x คือการวัด ดังนั้นจึงทำให้เกิดข้อผิดพลาดใน y จากนั้น เพื่อค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จำกัด │Δу│ ของฟังก์ชัน y ให้ใช้สูตร
│Δу│≈│dy│ = │ f "(x) ││Δх│,
โดยที่ │Δх│ เป็นข้อผิดพลาดที่จำกัดของอาร์กิวเมนต์ ค่า │Δу│ ควรปัดเศษขึ้น เนื่องจาก การแทนที่การคำนวณส่วนเพิ่มสำหรับการคำนวณส่วนต่างนั้นไม่แม่นยำ
