Метод простой итерации, называемый также методом La aproximación secuencial es un algoritmo matemático para encontrar el valor de una cantidad desconocida refinándolo gradualmente. La esencia de este método es que, como su nombre lo indica, expresando gradualmente los siguientes a partir de la aproximación inicial, obtienen resultados cada vez más precisos. Este método se usa para encontrar el valor de una variable en una función dada, así como también para resolver sistemas de ecuaciones, tanto lineales como no lineales.
Considere cómo se implementa este método al resolver SLAE. El método de iteración simple tiene el siguiente algoritmo:
1)Verificación de la condición de convergencia en la matriz original. Teorema de convergencia: si la matriz original del sistema tiene una prevalencia diagonal (es decir, en cada fila los elementos de la diagonal principal deben ser mayores en valor absoluto que la suma de los elementos de las diagonales laterales en valor absoluto), entonces el método de iteración simple es convergente.
2)La matriz del sistema original no siempre tiene una prevalencia diagonal. En tales casos, el sistema puede ser transformado. Las ecuaciones que satisfacen la condición de convergencia se dejan intactas, y con insatisfactorias son combinaciones lineales, es decir. multiplicar, restar, sumar ecuaciones entre sí para obtener el resultado deseado.
Si el sistema resultante tiene coeficientes inconvenientes en la diagonal principal, entonces los términos de la forma c se agregan a ambos lados de esta ecuacióny* sy cuyos signos deben coincidir con los signos de elementos diagonales.
3. Convertir el sistema resultante a la vista normal:
con-= β-+ α * x-
Esto se puede hacer de muchas maneras, por ejemplo, de la siguiente manera: desde la primera ecuación, exprese x1 a través de otras incógnitas, desde el segundo2, del tercero3 etc. Usamos las fórmulas:
αella= - (aella / aii)
y= by/ ay
Debería verificarse nuevamente que el sistema de tipo normal resultante cumple la condición de convergencia:
∑ (j = 1) | αella| ≤ 1, con i = 1,2, ... n
4. Comenzamos a aplicar, de hecho, el método de aproximaciones sucesivas en sí.
con(0)- aproximación inicial, expresamos a través de ella x(1), luego a través de x(1) expreso x(2). La fórmula general en forma de matriz se ve así:
con(n)= β-+ α * x(n-1)
Calculamos hasta alcanzar la precisión requerida:
max | xy(k) -xy(k + 1) ≤ ε
Entonces, echemos un vistazo al método de iteración simple en la práctica. Un ejemplo:
Resolver SLAU:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 con una precisión de ε = 10-3
Veamos si los elementos diagonales prevalecen módulo.
Vemos que solo la tercera ecuación satisface la condición de convergencia. Transformamos el primero y el segundo, sumamos el segundo a la primera ecuación:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
Resta el primero del tercero:
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Transformamos el sistema original en uno equivalente:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
Ahora traemos el sistema a su forma normal:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Verifique la convergencia del proceso iterativo:
0.0789 + 0.3158 = 0.3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, es decir La condición se cumple.
0,3947
X aproximación inicial(0) = 0,4762
0,8511
Sustituimos estos valores en la ecuación de la forma normal, obtenemos los siguientes valores:
0,08835
con(1)= 0.486793
0,446639
Sustituir nuevos valores, obtenemos:
0,215243
con(2)= 0,405396
0,558336
Continuamos el cálculo hasta que nos acercamos a los valores que satisfacen la condición dada.
0,18813
con(7)= 0.441091
0,544319
0,188002
con(8) = 0.44164
0,544428
Verifique la exactitud de los resultados:
4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2,0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977
Los resultados obtenidos al sustituir los valores encontrados en las ecuaciones originales satisfacen completamente las condiciones de la ecuación.
Como podemos ver, el método de iteración simple proporciona resultados bastante precisos, pero para resolver esta ecuación tuvimos que pasar mucho tiempo y hacer cálculos engorrosos.
